ALGEBRAIK   KASRLAR

24- §.  ALGEBRAIK   KASR.   KASRLARNI   QISQARTIRISH

 

1- ma s a l a .  Katerning turg‘un suvdagii tezligi soatiga a kilometrga teng, daryo oqimining tezligi  soatiga b kilometrga teng. Katerning daryo oqimi bo‘yicha harakat tezligi uning daryo oqimiga qarshi harakat tezligidan necha marta ortiq?

Katerning daryo oqimi bo‘yicha tezligi (a+b) kilometrga teng; oqimga qarshi tezligi soatiga (a–b) kilometrga teng. Shuning uchun daryo oqimi bo‘yicha harakat tezligi oqimga qarshi harakat tezligidan

                                                   

marta ortiq bo‘ladi.

 ifoda algebraik kasr deyiladi. Bu kasrning surati a+b, maxraji esa a–b.

 

    Umuman, surat va maxraji algebraik ifodalar bo‘lgan kasr algebraik kasr deyiladi.

 

Algebraik kasrlarga doir yana bir necha misollar keltiramiz:

 

Agar algebraik kasrga kiruvchi harflar o‘rniga biror sonlar qo‘yilsa, u holda zarur hisoblashlar bajarilgandan keyin shu algebraik kasrning son qiymati hosil bo‘ladi.

Masalan, a=10, b=8 bo‘lganda   algebraik kasrning son qiymati   ga teng bo‘ladi.

 algebraik kasrda a va b o‘rniga o‘zaro teng bo‘lmagan (a≠b) istalgan sonlarni qo‘yish mumkin, chunki a=b bo‘lganda kasrning maxraji nolga aylanadi, nolga bo‘lish esa mumkin emas.

Bundan keyin algebarik kasrga kiruvchi harflar yo‘l qo‘yiladigan (joiz) qiymatlarnigina, ya’ni shu kasrning maxraji nolga teng bo‘lmaydigan qiymatlarnigina qabul qiladi, deb shartlashamiz.

Masalan,  kasr uchun yo‘l qo‘yilishi mumkin bo‘lgan qiymatlar a ning a=0 va a=1 dan boshqa qiymatlari bo‘ladi.

 

    Kasrning asosiy xossasini bunday yozish mumkin:

,

bu yerda b≠0, m≠0.

Bu xossa kasrning surat va maxrajini bir xil algebraik ifodaga ko‘paytirilsa yoki bo‘linsa, unga teng kasr hosil bo’lishini bildiradi, masalan:

 

Kasrning asosiy xossasidan foydalanib, algebraik kasrni surat va maxrajga bir vaqtda kiruvchi umumiy ko‘paytuvchiga qisqartirish mumkin, masalan:

    

 

Kasrlarni soddalashtirish uchun avval ularning surat va maxrajining umumiy ko‘paytuvchisini ajratib olish kerakligiga doir misollar keltiramiz.

2- ma s a l a .   Kasrlarni qisqartiring:

1)                       2)  

 

1) 12a2b va 4ab2  birhadlar 4ab umumiy ko‘paytuvchiga ega.

Kasrning surat va maxrajini 4ab ga bo‘lamiz:

 

2) m2–n2 va m2+mn ko‘phadlar m+n umumiy ko‘paytuvchiga ega, chunki m2–n2=(m+n)(m–n), m2+mn=m(m+n). Kasrning surat va maxrajini m+n ga bo‘lamiz:  

 

 Kasrlarni qisqartirish uchun bu kasrlarning surat va maxrajini ularning umumiy ko‘paytuvchisiga bo‘lish kerak.

Agar  kasrning surat yoki maxrajidagi ishorani qarama-qarshi kasr hosil bo‘lishini ta’kidlab o‘tamiz:

 

Masalan,

2- ma s a l a .    kasrni qisqartiring:

=

 

 

     TAYANCH   TUSHUNCHALAR:

 

Algebraik kasrlar