25- §. KASRLARNI UMUMIY MAXRAJGA KELTIRISH

Oddiy kasrlarni qo‘shishda avval kasrlarni umumiy maxrajga keltirib olinadi. Masalan, kasrlar uchun umumiy maxraj 100 soni bo‘ladi, bu son 4, 25, 10 sonlarining eng kichik umumiy karralisidir.

Algebraik kasrlarning umumiy maxraji shu kasrlar maxrajlarining eng kichik umumiy karralisidir. Kasrlarni umumiy maxrajga keltirishda kasrning asosiy xossasidan foydalaniladi.

1- ma s a l a . , va algebraik kasrlarni umumiy maxrajga keltiring.

Berilgan kasrlarning umumiy maxraji har bir kasrning maxrajiga bo‘linishi kerak. Demak, u 3 ga, 6 ga, 4 ga, ya’ni 12 ga; a² ga, a ga va a ga, ya’ni a² ga; b ga va b² ga, ya’ni b² ga; c ga bo‘linishi kerak.

Shunday qilib, kasrlarning umumiy maxraji 12, a², b² va c ko‘paytuvchilarni o‘z ichiga olishi kerak. Umumiy maxraj sifatida 12a²b²c ko‘paytmani olish lozim bo‘ladi. Bu umumiy maxrajni birinchi kasrning maxrajiga bo‘lib, uning surat va maxrajini ko‘paytirish kerak bo‘lgan birhadni topamiz. Bu birhad berilgan kasrning qo‘shimcha ko‘paytuvchisi deyiladi. Birinchi kasr uchun bunday birhad 4bc ga teng. Xuddi shunday yo‘l bilan ikkinchi va uchinchi kasrlar uchun qo‘shimcha ko‘paytuvchilarni topamiz: 2a va 3ab².

Birinchi, ikkinchi va uchinchi kasrlarning surati va maxrajini mos ravishda 4bc, 2ac va 3ab² ga ko‘paytirib, ularni 12a²b²c umumiy maxrajga keltiramiz:

, , .

2- ma s a l a . Kasrlarni umumiy maxrajga keltiring:

, , .

Kasrlarning maxrajini ko‘paytuvchilarga ajratamiz:

x²–y²=(x–y)(x+y);

2x²–4xy+2y²=2(x²–2xy+y²)=2(x–y)²;

3x²+6xy+3y²=3(x²+2xy+y²)=3(x+y)².

Umumiy maxraj berilgan kasrlarning har birining maxrajiga bo‘linishi kerak.

Umumiy maxraj birinchi kasrning maxrajiga bo‘linishi uchun uning tarkibida (x–y)(x+y) ko‘paytma bo‘lishi kerak.

So‘ngra, umumiy maxraj ikkinchi kasrning maxrajiga bo‘linishi kerak va shuning uchun unda 2(x–y)² ko‘paytuvchi bo‘lishi kerak. Demak, birinchi kasr maxrajiga 2(x–y) ko‘paytuvchini yozib qo‘yish kerak, ya’ni umumuiy maxraj tarkibida

2(x–y)²(x+y)

ko‘paytma bo‘lishi lozim.

Umumiy maxraj uchinchi kasrning 3(x+y)² maxrajiga bo‘linishi uchun hosil qilingan ko‘paytmaga 3(x+y) ko‘paytuvchini yozib qo‘yish kerak. Demak, uchala kasrning umumiy maxraji

6(x–y)²(x+y)²

ga teng bo‘ladi.

Kasrlarni umumiy maxrajga keltirish uchun ularning surat va maxrajini qo‘shimcha ko‘paytuvchilarga ko‘paytirish kerak, ular esa umumiy maxrajni har bir kasrning maxrajiga bo‘lish yo‘li bilan topiladi; berilgan kasrlar uchun ular mos ravishda quyidagilarga teng:

6(x–y)(x+y), 3(x+y)², 2(x–y)².

Demak, berilgan kasrlarni bunday yozib olish mumkin:

; ;

.

Algebraik kasrlarni umumiy maxrajga keltirish uchun:

1) berilgan kasrlarning umumiy maxrajini topish;

2) har bir kasr uchun qo‘shimcha ko‘paytuvchini topish;

3) har bir kasrning suratini uning qo‘shimcha ko‘paytuvchisiga ko‘paytirish;

4) har bir kasrni topilgan surat va umumiy maxraj bilan yozish kerak.