Tengsizliklarni yechishda ko`pincha intervallar usuli qo`llaniladi. Bu usulni misollarda tushuntiramiz.

 

    1-masala. x ning qanday qiymatlarida x2–4x+3 kvadrat uchhad musbat qiymatlar, qanday qiymatlarida esa manfiy qiymatlar qabul qilishini aniqlang.

    x2–4x+3=0 tenglamaning ildizini topamiz:

x1=1,    x2=3.

    Shuning uchun x2–4x+3=(x–1)(x–3).

    x=1 va x=3 nuqtalar (22-rasm) son o`qini uchta oraliqqa bo`ladi:

x<1, 1<x<3,  x>3.

    1<x<3 oraliq singari x<1, x>3 oraliqlar ham intervallar deyiladi.

 

 

    Son o`qi bo`yicha o`ngdan chapga harakat qilib, x>3 intervalda x2–4x+3=(x–1)(x–3) uchhad musbat qiymatlar qabul qilishini ko`ramiz, chunki bu holda ikkala x–1 va  x–1 ko`paytuvchi ham musbat.

    Keyingi 1<x<3 intervalda shu uchhad manfiy qiymat qabul qiladi va, shunday qilib, x=3 nuqta orqali o`tishda ishorasini o`zgartiradi. Bu hol shuning uchun ham sodir bo`ladiki, (x–1)(x–3) ko`paytmada x=3 nuqta orqali o`tishda x–1 ko`paytuvchi ishorasini ishorasini o`zgartirmaydi, x–3 ko`paytuvchi esa ishorasini o`zgartiradi.

    x=1 nuqta orqali o`tishda uchhad yana ishorasini o`zgartiradi, chunki (x–1)(x–3) ko`paytmada birinchi x–1 ko`paytuvchi ishorasini o`zgartiradi, ikkinchi x–3 ko`paytuvchi esa o`zgartirmaydi.

    Demak, son o`qi bo`yicha o`ngdan chapga qarab harakat qilib bir intervaldan qo`shni intervalga o`ta borganda (x–1)(x–3) ko`paytmaning ishorasi almasha boradi.

    Shunday qilib,

x2–4x+3

kvadrat uchhadning ishorasi haqidagi masalani quyidagi usul bilan yechish mumkin.

 

 

x2–4x+3=0 tenglamaning ildizlarini son o`qida belgilaymiz. Ular son o`qini uchta intervalga ajratadi (22-rasm). x>3 intervalda x2–4x+3 uchhadning usbat bo`lishini aniqlab, uchhadning qolgan intervallardagi ishoralarini almasha boradigan tartibda belgilaymiz (23-rasm). 23-rasmdan ko`rinib turibdiki, x<1 va x>3 bo`lganda x2–4x+3>0,  1<x<3 bo`lganda esa x2–4x+3<0.

 

    Qarab chiqilgan usul intervallar usuli deyiladi. Bu usuldan kvadrat tengsizliklarni va ba’zi tengsizliklarni yechishda foydalaniladi.

    Masalan, 1-masalani yechganda biz aslida x2–4x+3>0 va x2–4x+3<0 tengsizliklarni intervallar usulida yechdik.

 

    2-masala. x3–x<0 tengsizlikni yeching.

 

      x3–x ko`phad ko`paytuvchilarga ajratamiz:

x3–x=x(x2–1)=x(x–1)(x+1).

Demak, tengsizlikni bunday yozish mumkin:

(x+1)x(x–1)<0.

    Son o`qida –1, 0, va 1 nuqtalarni belgilaymiz. Bu nuqtalar son o`qini to`rtta intervalga ajratadi (24-rasm):

x<–1,  –1<x<0,  0<x<1,  x>1.

 

 

    x>1 bo`lganda (x+1)x(x–1) ko`paytmaning hamma ko`paytuvchilari musbat, shuning uchun x>1 intervalda (x+1)x(x–1)>0 bo`ladi. Qo’shni intervalga o`tishda ko`paytma ishorasining almashishini e’tiborga olib, har bir interval uchun (x+1)x(x–1) ko`paytmaning ishorasini topamiz (25-rasm).

 

 

    Shuning uchun, tengsizlikning yechimlari x ning  x<–1  va 0<x<1 intervallardagi barcha qiymatlari bo`ladi.

    Javob: x<–1,  0<x<1.

    3-masala.  (x2 – 9)(x + 3)(x – 2) > 0 tengsizlikni yeching.

    Berilgan tengsizlikni quyidagi ko`rinishda yozish mumkin:

(x + 3)2(x – 2)(x – 3) > 0.                                       (1)

    Barcha x ≠ –3 da (x + 3)2 > 0 bo`lgani uchun x ≠ –3 da (1) tengsizlikning yechimlari to`plami

(x – 2)(x – 3) > 0                                                    (2)

tengsizlikning yechimlari to`plami bilan ustma-ust tushadi.

    x = –3 qiymat (1) tengsizlikning yechimi bo`lmaydi, chunki x = –3 bo`lganda tengsizlikning chap qismi 0 ga teng.

    (2) tengsizlikni intervallar usuli bilan yechib, x < 2, x > 3 ni hosil qilamiz (26-rasm).

    x = –3 berilgan tengsizlikning yechimi bo`lmasligini e’tiborga olib, oxirida javobni bunday yozamiz:

x < –3,  –3 < x < 2,  x > 3.

 

    4-masala. Ushbu tengsizlikni yeching:

 

    Kasrning surat va maxrajini ko`paytuvchilarga ajratib quyidagini hosil qilamiz:

                                                            (3)

 

    Son o`qida kasrning surat yoki maxraji nolga aylanadigan –3; –1; 1; 4 nuqtalarni belgilaymiz. Bu nuqtalar son to`g`ri chizig`ini beshta intervalga ajratadi (27-rasm).      x > 4 bo`lganda kasrning surat va maxrajidagi barcha ko`paytuvchilar musbat va shuning uchun kasr musbat.

Bir intervaldan keyingisiga o`tishda lasr ishorasini o`zgartiradi, shuning uchun kasrning ishoralarini 27-rasmdagidek qo`yish mumkin. x = –3 va  x = 1 qiymatlar (3) tengsizlikni qanoatlantiradi, x = –1 va x = 4 bop`ganda esa kasr ma’noga ega emas. Shunday qilib, berilgan tengsizlik quyidagi yechimlarga ega:

 

x ≤ –3,  –1 < x < 1,  x > 4.

     TAYANCH   TUSHUNCHALAR:

                                                                Interval, Intervallar usuli.