O`rta Osiyolik atoqli matematik va astronom Jamshid ibn Ma’sud ibn Mahmud G`iyosiddin al-Koshiy (taxminan 1430-yilda vafot etgan) sonlarning istalgan n- darajali ildiz chiqarish amalini kashf qildi. Uning “Hisob kaliti” nomli asarining beshinchi bobi “darajaning asosini aniqlash” deb nomlangan.

   

    Quyidagi masalani qaraylik.

      1-masala. Tenglamani yeching: x4 = 81.

 

     Tenglamani x4 – 81 = 0 yoki (x2 – 9)(x2 + 9) = 0 ko`rinishida yozib olamiz.    x2 + 9 ≠ 0 bo`lgani uchun x2 – 9 = 0 bo`ladi, bundan x1 = 3, x2 = –3.

 

    Shunday qilib, x4 = 81 tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega: x1 = 3, x2 = –3. ularni 81 sonining 4-darajali ildizlari, musbat ildizni (3 sonini) esa 81 sonining 4- darajali arifmetik ildizi deyiladi va bunday belgilanadi: . Shunday qilib,

    xn = a tenglama (bunda n – natural son, a – nomanfiy son) yagona nomanfiy ildizga ega ekanligini ko`rsatish mumkin. Bu ildizni a sonning n- darajali arifmetik ildizi deyiladi.

 

 

 

Ta’rif. a nomanfiy sonning n ≥ 2 naturak ko`rsatkich arifmetik ildizi deb, n- darajasi a ga teng bo`lgan nomanfiy sonni aytiladi.

a sonning n- darajali arifmetik ildizi bunday belgilanadi: . a son ildiz ostidagi ifoda deyiladi. Agar n = 2 bo`lsa, u holda  o`rniga   yoziladi.

 

    Ikkinchi darajali arifmetik ildiz kvadrat ildiz ham deyiladi, 3- darajali ildiz esa kub ildiz deyiladi.

    So`z n- darajali arifmetik ildiz haqida yuritilayotgani aniq bo`lgan hollarda qisqacha “n- darajali ildiz” deyiladi.

 

 

 

 

Ta’rifdan foydalanib,  ning b ga tengligini isbotlash uchun

1) b ≥ 0; 2) bn = a ekanligini ko`rsatish kerak.

 Masalan, , chunki 4 > 0 va 43 = 64.

Arifmetik ildizning ta’rifidan, agar a ≥ 0 bo`lsa, u holda

bo`lishi kelib chiqadi.

 

 Masalan,

n- darajali ildiz izlanayotgan amal n- darajali ildiz chiqarish amali deyiladi. U n- darajaga ko`tarish amaliga teskari amaldir.

     2-masala. x3 = –8 tenglamani yeching.

     Bu tenglamani –x3 = 8 yoki (–x)3 = 8 kabi yozish mumkin. –x = y deb belgilaymiz, u holda y3 = 8 bo`ladi.

    Bu tenglama bitta ildizga ega: tenglama manfiy ildizga ega emas, chunki y < 0 bo`lganda y3 > 0 bo`ladi. y = 0 soni ham bu tenglamaning ildizi bo`la olmaydi.

    Shunday qilib, y3 = 8 tenglama faqat bitta y = 2 ildizga ega, demak, x3 = –8 tenglama ham bitta ildizga ega: x = –y = 2.

    Javob: x = –2.

 

    x3 = –8 tenglamaning yechimini qisqacha bunday yozish mumkin:

 

 

Umuman, istalgan toq 2k + 1 natural son uchun a < 0 bo`lganda x2k + 1 = a tenglama faqat bitta, buning ustiga manfiy ildizga ega. Bu ildiz xuddi arifmetik ildiz kabi bunday belgilanadi: Uni manfiy sonnoing toq darajali ildizi deyiladi.

 

 Masalan,

a sonning toq darajali ildizi bilan –a =|a| sonning arifmetik ildizi orasida ushbu tenglik mavjud:

 

 Masalan,

 

     TAYANCH   TUSHUNCHALAR:

                               

                        Arifmetik ildiz, Kvadrat ildiz, n-darajali ildiz chiqarish amali.