1-masala. Hisoblang.

 5¹²=(5³)⁴  bo`lgani uchun

Shunday qilib,

Shunga o`xshash,  ekanligini ko`rsatish mumkin.

 

Umuman, agar n - natural son, n ≥ 2, m butun son va  butun son bo`lsa, u holda a > 0 bo`lganda quyidagi tenglik to`g`ri bo`ladi:                                         .                                                     (1)

 

  Shartga ko`ra  – butun son, ya’ni m ni n ga bo`lishda k butun son hosil bo`ladi. bu holda  tenglikdan m = kn ekanligi kelib chiqadi. Darajaning va arifmetik ildizning xossalarini qo`llab, quyidagini hosil qilamiz:

  

 

 

Bordi-yu agar  butun son bo`lmasa, u holda  (bunda a > 0)daraja (1) formula to`g`riligicha qoladigan qilib ta’riflanadi, ya’ni bu holda                                                                                              (2) deb hisoblanadi.

 

Shunday qilib, (2) formula istalgan butun m va istalgan natural n ≥ 2 va a > 0 son uchun to`g`ri bo`ladi.

 Masalan,

;

;

.

r ratsional son – bu  ko’rinishidagi son ekanligini, bunda - butun son, - natural son,  ya’ni  bo’lishini eslatib o’tamiz. Bu holda (2) formula bo’yicha  ni hosil qilamiz. Shunday qilib, daraja istalgan ratsional ko’rsatkich va istalgan musbat asos uchun aniqlandi. Agar  bo’lsa, u holda  ifoda faqat  a > 0 bo’lgandagina emas, balki a = 0 bo’lganda ham ma’noga ega bo’ladi. a = 0 bo’lsa, . Shuning uchun r > 0 bo’lganda  tenglik o’rinli deb hisoblanadi.

(1) va (2) formulalardan foydalanib, ratsional ko’rsatkichli darajani ildiz shaklida, va aksincha, tasvirlash mumkin.

 

(2) formuladan va ildizning xossalaridan tenglik kelib chiqishini ta’kidlaymiz, bunda a > 0, m – butun son va n, k – natural sonlar.

        

 Masalan, .

 

Natural ko’rsatkichli darajaning barcha xossalari istalgan ratsional ko`rsatkichli va musbat asosli darajalar uchun to`g`ri bo`lishini ko`rsatish mumkin. Chunonchi, istalgan ratsional p va q sonlar va istalgan a > 0 va       b > 0 uchun quyidagi tengliklar to`g`ri bo`ladi:         1)  a p ∙ a q = a p + q.                         4) (ab) p =a p b p. 2)  a p : a q = a p – q.                         5) .                       3) (a p)q = apq.

 

    Bu xossalar ildizlarning xossalaridan kelib chiqadi.

 Masalan, a ^p ∙ a ^q = a ^{p + q} xossani isbotlaylik.

 

      Aytaylik,  (bunda n va l – natural sonlar, m va k – butun sonlar) bo`lsin.

 

                                                                                                     (3)

 

ekanligini isbotlash kerak.

 

     va  kasrlarni umumiy maxrajga keltirib, (3) tenglikning chap qismini

 

ko`rinishda yozamiz.

 

    Ratsional ko`rsatkichli darajaning ta’rifidan, ildizning va butun ko`rsatkichli darajaning xossalaridan foydalanib, quyidagini hosil qilamiz:

 

Ratsional ko`rsarkichli darajaning qolgan xossalari ham shunga o`xshash isbot qilinadi.

Darajaning xossalarini qo`llashga misollar keltiramiz.

1)                                           

2)  

3)

4)

5) 

 2-masala. Hisoblang:

  

 

 3-masala. Ifodani soddalashtiring:

 

 

 4-masala. Ifodani soddalashtiring: 

 

 

 

     misolida irratsional ko`rsatkichli darajani qanday kiritish mumkinligini ko`rsatamiz.  ning taqribiy qiymatlarini 0,1; 0,01, 0,001, … gacha aniqlik bilan ketma-ket yozib chiqamiz. U holda quyidagi ketma-ketlik hosil qiladi:

 

1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; …

 

    3 sonining daraja ko`rsatkichlari ketma-ketligini shu ratsional ko`rsatkichlar bilan yozib chiqamiz:

 

3^1,4; 3^1,41; 3^1,414; 3^1,4142;…

 

    Bu darajalar  kabi belgilanadigan biror haqiqiy sonning ketma-ket taqribiy qiymatlari ekanini ko`rsatish mumkin:

 

    3^1,4 = 4,6555355;

     3^1,41 =4,7069644;

        3^1,414 =4,7276942;

            3^1,4142 = 4,7287329;   

 ≈ 4,7288033

 

    Musbat a asosli va istalgan irratsionalli ko`rsatkichki a<sup>b</sup> daraja shunga o`xshash ta’riflanadi. Shunday qilib, endi musbat asosli daraja istalgan haqiqiy ko`rsatkich uchun ta’riflanadi, bunung ustiga haqiqiy ko`rsatkichli darajaning xossalari ratsional ko`rsatkichli darajaning xossalari kabidir.

     TAYANCH   TUSHUNCHALAR:

                               

                        Ratsional ko'rsatkichli daraja.