8-sinf “Algebra” kurtsida chap va o`ng qismlari musbat bo`lgan bir xil belgili tengsizliklarni hadlab ko`paytirilganda shu belgili tengsizlik hosil bo`lishi ko`rsatilgan edi.
|
|
Bundan, agar a > b > 0 va n natural son bo`lsa, u holda an > bn bo`lishi kelib chiqadi. |
Shartga ko`ra
a>0,
b>0. n
ta bir xil a>b tengsizlikni
ko`paytirib, hosil qilamiz: an>bn.
1-masala.
(0,43)5
va 
sonlarini
taqqoslang.
0,001
gacha aniqlik bilan 
bo`lgani
uchun 
bo`ladi.
shuning uchun 
.
|
|
Chap va o`ng qismlari musbat bo`lgan tengsizlikni istalgan ratsional darajaga ko`tarish mumkin: agar a > b > 0, r > 0 bo`lsa, u holda ar > br (1) bo`ladi; agar a > b > 0, r < 0 bo`lsa, u holda ar < br (2) bo`ladi; |
1-xossani isbotlaymiz.
Avval
(1) xossaning 
bo’lganda
to’g’riligini, keyin esa umumiy hol uchun
bo’lganda
to’g’riligini isbotlaymiz.
a) aytaylik,
bo’lsin,
bunda n
– birdan katta natural son,
a >
0, b > 0.
shartga ko’ra a > b.
ekanligini
isbotlash kerak. Faraz qilaylik, bu noto’g’ri, ya’ni
bo’lsin.
U holda bu tengsizlikni n natural darajaga ko’tarib,
ni
hosil qilamiz, bu esa a > b
shartga zid. Demak, a > b > 0
dan ekanligi
kelib chiqadi.
b) aytaylik, bo`lsin,
bunda m
va n
– natural sonlar. U holda
a
> b > 0 shartdan, isbot qilganimizga ko`ra
ekanligi
kelib chiqadi. Bu tengsizlikni m natural darajaga ko`tarib, hosil
qilamiz:
ya’ni
Masalan,
chunki
5 > 3; 
chunki
2 < 4;
chunki
7 > 6.
Endi (2) xossani isbotlaymiz.
Agar
r
< 0 bo`lsa, u holda –r > 0
bo`ladi. (1 xossaga ko`ra ) a > b > 0
shartdan a –r > b –r
ekanligi kelib chiqadi. Bu
tengsizlikning ikkala qismini musbat arbr
songa ko`paytirib, b r < a
r ni hosil qilamiz, ya’ni
a r > b r.
Masalan,
(0,7)-8 <
(0,6)-8 chunki 5 >
3; 13-0,6 > 15-0.6, chunki
13 < 15;
,
chunki 8 > 7.
Oliy matematika kursida (1) xossa istalgan musbat r haqiqiy son uchun, (2) xossa esa istalgan manfiy r son uchun to`g`ri ekanligi isbotlanadi.
Masalan,
chunki
chunki
Qat’iy tengsizliklarni (> yoki < belgili) darajaga ko`tarishning qarab o`tilgan xossalari noqat’iy tengsizliklar (≥ va ≤ belgili) uchun ham to`g`ri bo`lishini ta’kidlab o`tamiz.
|
|
Shunday qilib, agar tengsizlikning ikkala qismimusbat bo`lsa, u holda uni musbat darajaga ko`targanda tengsizlikning belgisi saqlanadi, manfiy darajaga ko`targanda esa tengsizlik belgisi qarama-qarshisiga o`zgaradi. |
Qat’iy tengsizliklar uchun > va < belgilari, noqat’iy tengsizliklar uchun esa ≥ va ≤ belgilari qarama-qarshi belgilar bo`lishini eslatib o`tamiz.
2-masala.
Sonlarni taqqoslang:
.
1.
va
bo`lgani
uchun 
bo`ladi.
Bu tengsizlikni
manfiy 
darajaga
ko`tarib, quyidagini hosil qilamiz:
.
2. darajalarning
asoslarini taqqoslaymiz. 
bo`lgani
uchun 
bo`ladi
bu tengsizlik ni musbat 
darajaga
ko`tarib, quyidagini hosil qilamiz:
3-masala.
Tenglamanin yeching: 10x
= 1.
x
= 0 son bu tenglamaning ildizi bo`ladi, chunki
100 = 1. Boshqa ildizlar
yo`qligini ko`rsatamiz. ]
Berilgan tenglamani 10x = 1x ko`rinishda yozamiz.
Agar x > 0 bo`lsa, u hilda 10x > 1x va, demak, tenglama musbat ildizga ega emas.
Agar x < 0 bo`lsa, u hilda 10x < 1x va, demak, tenglama manfiy ildizga ega emas.
Shunday qilib
x
= 0 berilgan 10x = 1
tenglamaning yagona ildizi ekan.
|
|
Shunga o`xshash, ax=1 (a > 0, a ≠ 0) tenglama yagona x = 0 ildizga ega bo`lishi isbotlanadi. Bundan, ax= ay (3) tenglik x = y bo`lgandagini to`g`ri bo`lishi kilieb chiqadi, bu yerda a > 0, a ≠ 0. |
(3)
tenglikni a-y
ga ko`paytirib, ax – y =
1 ni hosil qilamiz, bundan x = y.
4-masala.
32x – 1
= 9 tenglamani yeching.
32x
– 1 = 32,
bundan 2x – 1 = 2, x = 1,5.
ax = b tenglamani qaraymiz, bunda a > 0, a ≠ 0, b > 0.
Bu tenglama yagona yagona x0 ildiaga ega ekanligini isbotlash mumkin. x0 son a asos bo`yicha b sonning logarifmi deyiladi va logab kabi belgilanadi.
Masalan,
3x = 9.
tenglamaning ildizi 2 soni bo`ladi, ya’ni
log3 9
= 2.
Xuddi shunday,
log2
16 = 4, log5 
=
– 1, chunki 5-1 =
,
log
27
= – 3, chunki
b sonning 10 asosga lo`ra logarifni o`nli logarifm deyiladi va lg b kabi belgilanadi.
Masalan
lg 100 = 2,
chunki 102 = 100, lg 0,001 = -3,
chunki 10-3 = 0,001.
TAYANCH TUSHUNCHALAR:
Tengsizlikni darajaga ko'tarish,
Logarifm,
O'nli logarifm.
|
|