Siz y=x va y=x2 funksiyalar bilan tanishsiz. Bu funksiyalar darajali funksiyaning, ya’ni
y=xr (1)
(bunda r – berilganson) funksiyaning xususiy hollarida.
r – natural son bo`lsin,r=n=1,2,3,…deylik. Bu hoda natural ko`rsatkichli darajali funksiya y=xn ni hosil qilamiz.
Bu funksiya barcha
haqiqiy sonlar to`plamida, ya’ni son o`qining hamma yerida aniqlangan.
Odatda, barcha barcha haqiqiy sonlar to`plamida
R
harfi bilan belgilanadi. Shunday qilib, natural ko`rsatkichli darajali
funksiya y=xn,
uchun
aniqlangan. Agar (1) da 
bo`lsa,
uholda 
funksiya
hosil bo`ladi.
Bu funksiya x
ning noldan farqli barcha qiymatlarida aniqlangan. Uning grafigi Oy
o`qqa nisbatan simmetrik. 
bo`lsa,
u holda 
funksiyani
olamiz. Uning xossalari sizga tanish
funksiyaning
xossalari kabi bo`ladi.
p
va q
– natural sonlar va
-
qisqarmas kasr bo`lsin. 
funksiyaning
aniqlanish sohasi p
va q ning
juft – toqligiga qarab turlicha bo`ladi.
Masalan,
,
funksiyalar
ixtiyoriy da
aniqlangan. 
funksiya
esa x
ning nomanfiy, ya’ni 
qiymatlarida
aniqlangan.
8 – sinf “Algebra”
kursidan ma’lumki, har bir irratsional sonni chekli o`nli kasr bilan, ya’ni
ratsional son bilan yaqinlashtirish mumkin. Amaliyotda irratsional sonlar
ustida amallar ularning ratsional yaqinlashishlari yordamida bajariladi. Bu
amallar shunday kiritiladiki, amallarning tenglik va tengsizliklarning
ratsional sonlar uchun xossalari irratsional sonlar uchun ham to`la
saqlanadi. 
ratsional
sonlar
irratsional
sonning ratsional yaqinlashishlari bo`lsin. U holda
x
musbat son bo`lganda,
x ning ratsional darajalari, ya’ni
sonlar
xr darajaning
yaqinlashishlari bo`ladi. Bunday aniqlangan daraja irratsional ko`rsatkichli
daraja deyiladi. Demak, x>0 uchun
daraja ko`rsatkichi ixtiyoriy r
bo`lgan y=xr funksiyani
aniqlash mumkin.
Darajali funksiya x ning (1) formula ma’noga ega bo`ladigan qiymatlari uchun aniqlangan.
Masalan,
y=x
va y=x2
(r=1
va r=2)
funksiyalarning aniqlanish sohasi barcha haqiqiy sonlar to`plami bo`ladi;
funksiyaning
aniqlanish sohasi nolga teng bo`lmagan barcha haqiqiy sonlar to`plami
bo`ladi; 
funksiyaning
aniqlanish sohasi barcha nomanfiy sonlar to`plamidan iborat.
Shuni eslatamizki, agar argumentning biror oraliqdan olingan katta qiymatiga funksiyaning katta qiymatiga mos kelsa, ya’ni shu oraliqqa tegishli istalgan x1, x2 uchun x1>x2 tengsizlikdan y(x2)>y(x1) tengsizlik kelib chiqsa, y(x) funksiya shu oraliqda o`suvchi funksiya deyiladi.
Agar biror oraliqqa tegishli istalgan x1, x2 uchun x1>x2 tengsizlikdan y(x2)>y(x1) tengsizlik kelib chiqsa, y(x) funksiya shu oraliqda kamayuvchi funksiya deyiladi.
Masalan,
funksiya
sonlar o`qida o`sadi. 
funksiya
oraliqda
o`sadi, 
oraliqda
kamayadi.
darajali
funksiyaning o`sishi yoki kamayishi daraja ko`rsatkichining ishorasiga
bog`liq.
Agar
bo`lsa,
u holda darajali
funksiya oraliqda
o`sadi.
bo`lsin.
tengsizlikni
musbat r
darajaga ko`tarib,
ni,
ya’ni
ni
hosil qilamiz.
Masalan,
va
funksiyalar
oraliqda
o`sadi. Bu funksiyalarning grafiklari 34 – rasmda tasvirlangan. Shu rasmdan
funksiyaning
grafigi 0<x<1
oraliqda
y=x
funksiyaning
grafigidan yuqorida,
x>1
oraliqda esa y=x
funksiyaning grafigidan pastda yotishi ko`rinib turibdi.
Agar 0<x<1 bo`lsa, y=xr funksiyaning grafigi xuddi shunday xossaga ega bo`ladi.
funksiyaning
grafigi 0<x<1
oraliqda
y=x
funksiya
grafigidan pastda,
x>1
oraliqda esa y=x
funksiyaning grafigidan yuqorida yotadi.
r>1 bo`lsa, y=xr funksiyaning grafigi xuddi shunday xossaga ega bo`ladi.
Endi r<0 bo`lgan holni qaraymiz.
Agar
bo`lsa,
u holda
darajali
funksiya
oraliqda
kamayadi.
bo`lsin.
tengsizlikni
manfiy r
darajaga ko`tarib, chap va o`ng tomonlari musbat bo`lgan tengsizlikning
xossasiga ko`ra
ni,
ya’ni
ni
hosil qilamiz.
Masalan,
,
ya’ni 
funksiya
oraliqda
kamayadi. Bu funksiyaning grafigi 35 – rasmda tasvirlangan.
1
– m a s a l a .
tenglamani
yeching.
funksiya
da
aniqlangan. Shuning uchun berilgan tenglama faqat nomanfiy ildizlarga ega
bo`lishi mumkin. Bunday ildizlardan biri:
.
Tenglamaning boshqa ildizi yo`q, chunki
funksiya
bo`lganda
o`sadi va shuning uchun, agar
x>81
bo`lsa, u holda
,
agar x<81
bo`lsa, u holda
bo`ladi
( 36 – rasm ).
(
bunda
)
tenglamaning har doim musbat
ildizga
egaligi, shu bilan birga bu ildizning yagonaligi shunga o`xshash isbotlanadi.
Demak,
(
bunda
)
funksiya x>0
bo`lganda
barcha musbat qiymatlarni qabul qiladi.
Bu esa, masalan,
(
36 – rasm ) funksiyaning sekinlik bilan o`sishiga qaramasdan, uning grafigi
Ox
o`qdan istalgancha uzoqlashishini va
y=b
to`g`ri chiziqni, b
ning qanday musbat son bo`lishiga qaramasdan, kesishini bildiradi.
2
– m a s a l a
.
funksiyaning
x>1
oraqliqda o`sishini isbotlang.
bo`lsin.
ekanligini
ko`rsatamiz. hosil qilamiz.
ayirmani
qaraymiz.
.
bo`lgani
uchun
shuning
uchun
>0,
ya’ni
.
TAYANCH TUSHUNCHALAR:
O'suvchi funksiya,
Kamayuvchi funksiya.
|
|