Siz   y=x² va  funksiyalarning grafiklari ordinatalar o`qiga nisbatan simmetrik (37 va 38–rasmlar) ekanligini bilasiz. Bunday funksiyalar juft funksiyalar deyiladi.

 

Agar y(x) funksiyaning aniqlanish sohasidan olingan istalgan x uchun  

y(-x)=y(x) bo`lsa, bu funksiya juft funksiya deyiladi.

 Masalan,  va  funksiyalar juft funksiyalar, chunki istalgan x uchun  va istalgan  uchun .

 

                1 – m a s a l a .  funksiyaning grafigi koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik ekanligini isbotlang va grafigini yasang.

1)   funksiyaning aniqlanish sohasi – barcha haqiqiy sonlar to`plami.

2)   funksiyaning qiymatlari x>0 bo`lganda musbat, x<0 bo`lganda manfiy, x=0  bo`lganda nolga teng.

Aytaylik, ( x₀; y₀) nuqta  funksiyaning grafigiga tegishli, ya’ni  bo`lsin. (x<sub>0</sub>;y<sub>0</sub>) nuqtaga koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik bo`lgan nuqta ( x₀; y₀) nuqta (-x₀;-y₀) koordinatalariga ega bo`ladi. Bu nuqta ham  funksiyaning grafigiga tegishli bo`ladi, chunki  to`g`ri tenglikning ikkala qismini – 1 ga ko`paytirib, hosil qilamiz:   yoki .

Bu xossa funksiyaning grafigini yasashga imkon beradi: avval grafik  uchun yasaladi, so`ngra esa uni koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik akslantiriladi.

3)  funksiya aniqlanish sohasining hamma yerida o`sadi. Bu musbat ko`rsatkichli darajali funksiyaning  bo`lganda o`sish xossasidan va grafikning koordinatalar boshiga nisbatan simmetrikligidan kelib chiqadi.

4)   ning ba’zi qiymatalri ( masalan, x=1, 2, 3, ) uchun  funksiyaning qiymatlari jadvalini tuzamiz,  bo`lganda grafikning bir qismini yasaymiz va so`ngra simmetriya yordamida grafikning x nuing manfiy qiymatlariga mos keluvchi qismini yasaymiz ( 39 – rasm ).

Grafiklari koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik bo`lgan funksiyalar toq  funksiyalar deyiladi. Shunday qilib,  - toq funksiya.

Agar y(x) funksiyaning aniqlanish sohasidan olingan istalgan x uchun

                                            y ( -  x )= - y ( x )

bo`lsa, bu funksiya toq funksiya deyiladi.

 

 Masalan, , funksiyalar toq funksiyalardir, chunki istalgan x uchun (-x)⁵=- x⁵  va istalgan  uchun .

Juft va toq funksiyalarning aniqlanish sohasi koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik ekanligini ta’kidlab o`tamiz.

Juftlik yoki toqlik xossalariga ega bo`lmagan funksiyalar mavjud.  Masalan, y=2x+1 funksiyaning juft ham,  toq ham emasligini ko`rsatamiz. Agar bu funksiya juft bo`lganida edi, u holda barcha x uchun 2(-x)+1=2x+1 tenglik bajarilgan bo`lar edi; lekin,  masala, funksiya x=1 bo`lganda bu tenglik noto`g`ri:  . Agar bu funksiya toq bo`lganida edi, u holda barcha x uchun  2(-x)+1=-(2x+1) tenglik  bajarilgan bo`lar edi; lekin  masalan, x=2 bo`lganda bu tenglik noto`g`ri:

 

             2 – m a s a l a .  funksiyaning grafigini yasang.

             Aniqlanish sohasi – barcha haqiqiy sonlar.

             Funksiya – toq, chunki istalgan x uchun .

              bo`lganda funksiya musbat ko`rsatkichli darajali funksiyaning xossasiga ko`ra o`sadi, chunki  bo`lganda

              bo`lganda funksiyaning qiymati musbat; y(0)=0.

             Grafikka tegishli bir nechta,  masalan, (0; 0), (1; 1), (8; 2) nuqtalarni topib,  ning qiymatlari uchun grafikning bir qismini yasaymiz va so`ngra simmetriya yordamida  uchun grafikning  ikkinchi qismini yasaymiz ( 40 – rasm ).

funksiya barcha x lar uchun, funksiya esa faqat  uchun aniqlanganligini ta’kidlab o`tamiz.

     TAYANCH   TUSHUNCHALAR:

                               

                        Juft funksiya, Toq funksiya.