Aytaylik, vertikal to'g'ri chiziq markazi О nuqtada va radiusi 1 ga teng bo'lgan aylanaga P nuqtada urinsin (47- rasm). Bu to'g'ri chiziqni boshi P nuqtada bo'lgan son o'qi deb, yuqoriga yo'nalishni esa to'g'ri chiziqdagi musbat yo'nalish deb hisoblaymiz. Son o'qida uzunlik birligi sifatida aylananing radiusini olamiz. To'g'ri chiziqda bir nechta nuqtani belgilaylik: ±1, +1, ±3, ±к {%- taqriban

3,14 ga teng bo'lgan irratsional son ekanligini eslatib o'tamiz). Bu to'g'ri chiziqni aylanadagi P nuqtaga mahkamlangan cho'zilmaydigan ip sifatida tasavvur qilib, uni fikran aylanaga о'ray boshlaymiz. Bunda son(o'qining) to'g'ri chizig'ining, masalan, 1, , -1, -2 koordinatali nuqtalari aylananing, mos ravishda, shunday M_v M₂, M₃, M₄ nuqtalariga o'tadiki, РМ₁ yoyning uzunligi

1 ga teng, PM₂ yoyning uzunligi     ga teng

va hokazo bo'ladi.

Shunday qilib, to'g'ri chiziqning har bir nuqtasiga aylananing biror nuqtasi mos keltiriladi.

Shunday qilib, to'g'ri chiziqning har bir nuqtasiga aylananing biror nuqtasi mos keltiriladi.

To'g'ri chiziqning koordinatasi 1 ga teng bo'lgan nuqtasiga M_t nuqta mos keltirilgani uchun, POM₁ burchakni birlik burchak deb hisoblash va bu burchakning o'lchovi bilan boshqa burchaklarni o'lchash tabiiydir. Masalan, POM₂ burchakni  ga teng, POM₃ burchakni   -1 ga teng,

POM₄ burchakni -2 ga teng deb hisoblash lozim. Burchaklarni o'lchashning bunday usuli matematika va fizikada keng qo'llaniladi. Bu  holda    burchaklar    radian    o'lchovlarda o'lchanyapti deyiladi, POM₁ ni esa 1 radian (1 rad) ga teng burchak deyiladi. Aylananing PM₁ yoyining uzunligi radiusga teng ekanligini ta'kidlab o'tamiz.

POM₄ burchakni -2 ga teng deb hisoblash lozim. Burchaklarni o'lchashning bunday usuli matematika va fizikada keng qo'llaniladi. Bu  holda    burchaklar    radian    o'lchovlarda o'lchanyapti deyiladi, POM₁ ni esa 1 radian (1 rad) ga teng burchak deyiladi. Aylananing PM₁ yoyining uzunligi radiusga teng ekanligini ta'kidlab o'tamiz.

Endi ixtiyoriy R radiusli aylanani qaraymiz va unda uzunligi R ga teng bo'lgan PM yoyni va POM burchakni belgilaymiz (48- rasm).

  Uzunligi aylana radiusiga teng bo'lgan yoyga tiralgan markaziy burchak 1 radian burchak deyiladi.

1 rad burchakning gradus o'lchovini topaylik. Uzunligi R (yarim aylana) bo'lgan yoy 180° li markaziy burchakni tortib turgani uchun uzunligi R bo'lgan yoy  marta kichik bo'lgan burchakni tortib turadi, ya'ni

 

 

 ≈ 3,14 bo'lgani uchun 1 rad ≈ 57,3° bo'ladi.

Agar burchak a radiandan iborat bo'lsa, u holda uning gradus o'l­chovi quyidagiga teng bo'ladi:

                                (1)

1-masala. 1)  rad; 2)  rad; 3)  rad ga teng burchakning gradus o'lchovini toping.

 (1) formula bo'yicha topamiz:

1) ;                   2)      ;          3)      .      

1° li burchakning radian o'lchovini topaylik. 180° li burchak я rad ga teng bo'lgani uchun

               

bo'ladi.

Agar burchak  gradusdan iborat bo'lsa,  u holda uning radian o'lchovi

ga teng bo'ladi.

                                                                                           (2)

 

2-masala. 1) 45° ga teng burchakning; 2) 15° ga teng burchak­ning radian o'lchovini toping.

 (2) formula bo'yicha topamiz:

1)    ;

2)    .

Ko'proq uchrab turadigan burchaklarning gradus olcho'vlarini va ularga mos radian o'lchovlarini keltiramiz:

 

Gradus	0	30	45	60	90	180
Radian	0

 

Odatda burchakning o'lchovi radianlarda berilsa, «rad» nomi tushirib qoldiriladi.

Burchakning radian o'lchovi aylana yoylarining uzunliklarini hisoblash uchun qulay. 1 radian burchak uzunligi R radiusga teng yoyni tortib turgani uchun  radian burchak

                                                        (3)

uzunlikdagi yoyni tortib turadi.

3 - m a s a 1 a. Shahar kurantlari minut milining uchi radiusi R ≈ 0,8m bo'lgan aylana bo'ylab harakat qiladi. Bu milning uchi 15 min davomida qancha yo'lni bosib o'tadi?

 

Soat mili 15 min davomida   radianga teng burchakka buriladi. (3) formula bo'yicha   =  bo'lganda topamiz:

                                                  

Ja vob: 1,3 m.

(3) formula aylana radiusi R= 1 bo'lganda ayniqsa sodda ko'rinishga 3ga bo'ladi. Bu holda yoy uzunligi shu yoy bilan tortilib turgan markaziy burchak kattaligiga teng, ya'ni I =   bo'ladi. Radian o'lchovni mate-matika, fizika, mexanika va boshqa fanlarda qo'llanilishining qulayligi shu bilan izohlanadi.

4-masala. Radiusi R bo'lgan doiraviy sektor   rad burchakka ega. Shu sektorning yuzi

 

                                  

 

ga teng ekanligini isbotlang, bunda 0< <

  rad li doiraviy sektor (yarim doira)ning yuzi :. ga teng. Shuning uchun 1 rad li sektorning yuzi  marta kichik, ya'ni  . Demak, a rad li sektorning yuzi    ga teng.

 

     TAYANCH   TUSHUNCHALAR:

                               

                        Radian burchak.