Sinus bilan kosinus orasidagi munosabatni aniqlaymiz.

Aytaylik, birlik aylananig M(x; y) nuqtasi (1; 0) nuqtaniburchakka burish natijasida hosil qilingan bo'lsin (67- rasm). U holda si­nus va kosinusning ta'rifiga ko'ra

bo'ladi.

M nuqta birlik aylanaga tegishli, shuning uchun uning (x; y) koordinatalari x² + y² = 1 tenglamani qanoatlantiradi.

Demak,

           

                                (1)

 

(1)   tenglik  istalgan qiymatida bajariladi va asosiy trigonometrik ayniyat deyiladi.

(1) tenglikdanniorqali va, aksincha,niorqali ifodalash mumkin:

 

                           

 

Bu formulalarda ildiz oldidagi ishora formulaning chap qismida turgan ifodaning ishorasi bilan aniqlanadi.

               1-masala. Agar  va bo'lsa, ni hisoblang.

(2) formuladan foydalanamiz. bo'lgani uchunbo'ladi, shuning uchun (2) formulada ildiz oldiga “ - ” ishorasini qo'yish kerak:

 

.

 

               2- m a s a 1 a . Agar  va bo'lsa,  ni hisoblang.

bo'lgani uchunbo'ladi va shuning uchun (3) formulada ildiz oldiga “+” ishorasini qo'yish kerak:

.

 

Endi tangens bilan kotangens orasidagi bog'lanishni aniqlaymiz.

Tangens va kotangensning ta'rifiga ko'ra:

,    

 

Bu tengliklarni ko'paytirib,

 

                                      (4)

 

tenglikni hosil qilamiz. (4) tenglikdan tga ni ctga orqali, va aksincha, ctga ni tga orqali ifodalash mumkin:

 

,                                       (5)

.                                       (6)

 

(4) - (6)   tengliklar bo'lganda o'rinlidir

.  3 -  m a s a 1 a . Agar bo'lsa,  ni hisoblang.        

       (6) formula bo'yicha topamiz:     .

               4 - m a s a 1 a . Agar  va  bo'lsa, ni hisoblang.

        (3) formula bo'yicha cosa ni topamiz.   bo'lgani uchun

cosa < 0 bo'ladi. Shuning uchun

 

Demak,                                     

Asosiy trigonometrik ayniyatdan va tangensning ta'rifidan foydalanib, tangens bilan kosinus orasidagi munosabatni   topamiz.

deb faraz qilib, tenglikning ikkala qismini  ga bo'lamiz:  bundan

.                                         (7)

 

Agar bo'lsa, ya'ni bo'lsa, (7) formula to'g'ri bo'ladi.

(7) formuladan tangensni kosinus va kosinusni tangens orqali ifodalash mumkin.

               5 – m a s a 1 a . Agar va bo'lsa,  ni hisoblang.

(7) formuladan hosil qilamiz:

 

.

Tangens ikkinchi chorakda manfiy, shuning uchun .

               6 – m a s a 1 a . Agar va bo'lsa,  ni hisoblang.

(7) formuladan topamiz:

.

bo'lgani uchun  va shuning uchun .

     TAYANCH   TUSHUNCHALAR:

                               

                        Asosiy trigonometrik ayniyat.