29-§

Quyidagi masalani ko'raylik.

               Masala. O'quvchi sinovdan o'tish uchun tayyorgarlik ko'rib har kuni 5 ta dan sinov masalalarini yechishni rejalashtirdi. Har bir kun yechilishi rejalashtirilgan sinov masalalarining soni qanday o'zgarib

boradi?

Rejalashtirilgan masalalar soni har bir kunga kelib quyidagicha

o'zgarib boradi:

1- kun                              2- kun          3- kun       4- kun ...

5 ta                                   l0ta            15 ta         20 ta   ...

Natijada quyidagi ketma-ketlikni hosil qilamiz:

5,10,15,20,25,....

a_n - orqali n- kunga kelib yechilishi lozim bo'lgan barcha masalalar sonini belgilaylik. Masalan:

а₁ = 5, а₂ = 10, а₃ = 15, ... .

Hosil qilingan

а_г , а₂, а₃ , ..., а_п,... .

sonlar sonli ketma-ketlik deyiladi.

         Bu ketma-ketlikda ikkinchisidan boshlab uning har bir hadi oldingi hadga ayni bir xil 5 sonini qo'shilganiga teng. Bunday ketma-ketlik arifmetik progressiya deyiladi.

$D:\doc\2009_NewDoc\malakaviy_bitiruv_ishlari\aziz\9 algebra with flash\gif\image003.gif$ Ta'rif. Agar a₁, a₂, ... , a_n, ... sonli ketma-ketlikda barcha natural n lar uchun (bunda d - biror son) tenglik bajarilsa, bunday ketma-ketlik arifmetik progressiya deyiladi.



        Bu formuladan a_n+1 - a_n= d ekanligi kelib chiqadi. d son arifmetik progressiyaning ayirmasi deyiladi.

Misollar.

1) Sonlarning 1, 2, 3, 4 ..., n, ... natural qatori arifmetik progressiyani tashkil qiladi. Bu progressiyaning^- ayirmasi   d = 1.

2) Butun manfiy sonlarning -1, -2, -3,..., -n, ... ketma-ketligi ayirmasi d = -1 bo'lgan arifmetik progressiyadir.

3) 3, 3, 3, ..., 3, ... ketma-ketlik ayirmasi d = 0 bo'lgan arifmetik progressiyadan iborat.

               l-masala. a_n =1,5 + 3n formula bilan berilgan ketma-ketlik arifmetik progressiya bo'lishini isbotlang.

         a_n+1 - a_n ayirma barcha n uchun ayni bir xil (n ga bog'liq emas) ekanligini ko'rsatish talab qilinadi.

Berilgan ketma-ketlikning (n + l)-hadini yozamiz:

a_n+1 = l,5 + 3(n +1).

Shuning uchun

a_n+1 - a_n = 1,5 + 3(n + 1) - (1,5 + 3n) = 3.

Demak, a_n+1 - a_n ayirma n ga bog'liq emas.

Arifmetik progressiyaning ta'rifiga ko'ra a_n+1 = a_n+ d, a_n-1 = a_n- d, bundan

Shunday qilib, arifmetik progressiyaning ikkinchi hadidan boshlab har bir hadi unga qo'shni bo'lgan ikkita hadning o'rta arifmetigiga teng. «Arifmetik» progressiya degan nom shu bilan izohlanadi.

Agar a₁ va d berilgan bo'lsa, u holda arifmetik progressiyaning qolgan hadlarini a_n+1= a_n + d formula bo'yicha hisoblash mumkinligini ta'kidlaymiz. Bunday usul bilan progressiyaning bir necha dastlabki hadini hisoblash qiyinchilik tug'dirmaydi; biroq, masalan, a₁₀₀ uchun talaygina hisoblashlar talab qilinadi. Odatda buning uchun n-had formulasidan foydalaniladi.

Arifmetik progressiyaning ta'rifiga ko'ra

Umuman,

                                 (1)

chunki arifmetik progressiyaning n- hadi uning birinchi hadiga d sonini (n - 1) marta qo'shish natijasida hosil qilinadi.

(1)   formula arifmetik progressiyaning n-hadi formulasi deyiladi.

    2-masala. Agar a₁ = -6 va d = 4 bo'lsa, arifmetik progressiyaning yuzinchi hadini toping.

formula bo'yicha:

               3-masala. 99 soni 3, 5, 7, 9, ... arifmetik progressiyaning hadi. Shu hadning nomerini toping.

Aytaylik, n - izlangan nomer bo'lsin. a₁ = 3 va d = 2 bo'lgani uchun a_n = a₁ + (n -1)d formulaga ko'ra:   99 = 3 + (n - 1) • 2. Shuning uchun;.

Javob: n = 49

    4 - m a s a 1 a . Arifmetik progressiyada a₁ = 130 va a₁₂ = 166. n-hadining formulasini toping.

formuladan foydalaniib, topamiz:

a₈ = a₁+ 7d, a₁₂ = a₁ + 11d.

a₈ va a₁₂ larning berilgan qiymatlarini qo'yib, а₁ va d ga nisbatan tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:

Ikkinchi tenglamadan birinchi tenglamani ayirib, hosil qilamiz:

4d = 36, d = 9.

Demak, a₁ = 130 - 7d = 130 - 63 = 67. Progressiya n-hadi formulasini yozamiz:

a_n = 67 + 9(n - 1) = 67 + 9n - 9 = 58 + 9n.

Javob: a_n = 9n+ 58.

               5-masala. Burchakning bir tomonida uning uchidan boshlab teng kesmalar ajratiladi. Ularning oxirlaridan parallel to'g'ri chiziqlar o'tkaziladi (74- rasm). Shu to'g'ri chiziqlarning burchak tomonlari orasidagi a₁, a₂, a₃, ... kesmalarining uzunliklari arifmetik progressiya tashkil qilishini isbotlang.

Asoslari а_л_-1 va a_n+1 , bo'lgan trapetsiyada uning o'rta chizig'i a_n ga teng. Shuning uchun

Bundan 2a_n = a_n-1, + a_n+1 , yoki a_n+1 - a_n = a_n -a_n-1.
Ketma-ketlikning har bir hadi bilan undan oldingi hadi ayirmasi
ayni bir xil son bo'lgani uchun bu ketma-ketlik arifmetik progressiya
bo'ladi.

     TAYANCH   TUSHUNCHALAR:



                        Arifmetik progressiya, Arifmetik progressiyaning ayirmasi.