1-masala. 1 dan 100 gacha bo'lgan barcha natural sonlar yig'indisini toping.

Bu yig'indini ikki usul bilan yozamiz:

S=1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100,

S=100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.

Bu tengliklarni hadlab qo'shamiz:

Shuning uchun 2S = 101 • 100, bundan S = 101 • 50 = 5050.

           Endi ixtiyoriy

arifmetik progressiyani qaraymiz. S_n - shu progressiya dastlabki n ta hadining yig'indisi bo'lsin:

.

Teorema: Arifmetik progressiya dastlabki n ta hadining yig'indisi quyidagiga teng:

                     (1)

S_n  ni ikki usul bilan yozib olamiz:

Arifmetik progressiyaning ta'rifiga ko'ra bu tengliklarni quyida-gicha yozish mumkin:

    (2)

   (3)

 (2) va (3) tengliklarni hadlab qo'shamiz:

Demak, ,bundan .

               2- m а s а l а . Dastlabki n ta natural son yig'indisini toping.

     Natural sonlarning

1,2, 3,4, 5, 6, ...,n,...

ketma-ketligi ayirmasi d = 1 bo'lgan arifmetik progressiyadir. a₁ = 1 va a_n = n bo'lgani uchun (1) formula bo'yicha topamiz:

  Shunday qilib,

               3 - m a s a 1 a . Agar 38 + 35 + 32 + ... + (-7) yig'indining qo'shiluvchilari arifmetik progressiyaning ketma-ket hadlari bo'lsa, shu yig'indini toping.

Shartga ko'ra a₁ = 38, d = -3, a_n = -7. Endi a_n = a₁ + (n- l)d formulani qo'llab,  

-7 = 38 + (n - l)(-3) ni hosil qilamiz, bundan n = 16,

 formula bo'yicha topamiz:

               4*-masala. Yig'indi 153 ga teng bo'lishi uchun 1 dan boshlab nechta ketma-ket natural sonlarni qo'shish kerak?

Sonlarning natural qatori – ayirmasi d = 1 bo'lgan arifmetik progressiya. Shartga ko'ra а₁=1, S_n=153. Dastlabki n ta had yig'indisi formulasini quyidagicha o'zgartiramiz:

 

Berilganlardan foydalanib, noma'lum n ga nisbatan tenglama hosil qilamiz:

Bundan

.

Bu tenglamani yechib, topamiz:

,

.

 

  Qo'shiluvchilar soni manfiy bo'lishi mumkin emas, shuning uchun n = 17.

     TAYANCH   TUSHUNCHALAR:

                               

                        Arifmetik progressiya dastlabki n ta hadining yig'indisi.