Tomoni 4 sm bo'lgan teng tomonli muntazam uchburchakni qaraymiz. Uchlari berilgan uchburchak tomonlarining o'rtala-ridan iborat bo'lgan uchburchak yasaymiz (76- rasm). Uchburchak o'rta chizig'ining xossasiga ko'ra ikkinchi uchburchakning tomoni  2  sm ga teng.   Shunga o'xshash

yasashlarni davom ettirib, tomonlari sm va hokazo bo'lgan uchburchaklarni hosil qilamiz. Shu uchburchaklar tomonlarining uzunliklari ketma-ketligini yozamiz:

Bu ketma-ketlikda, ikkinchisidan boshlab, uning har bir hadi avvalgi hadni ayni bir xilsonga ko'paytirilganiga teng. Bunday ketma-ketliklar geometrik progressiyalar deyiladi.

         T a ’ r i f . Agar   sonli ketma-ketlikda barcha natural n uchun  tenglik bajarilsa, bunday ketma-ketlik geometrik progressiya deyiladi, bunda  - nolga teng bo'lmagan biror son.

Bu formuladan ekanligi kelib chiqadi. q son geometrik progressiyaning maxraji deyiladi.

Misollar.

1)    - maxraji   bo`lgan geometrik progressiya;

2)    - maxraji   bo`lgan geometrik progressiya;

3)    - maxraji   bo`lgan geometrik progressiya;

4)    - maxraji   bo`lgan geometrik progressiya;

 

1-masala. formula bilan berilgan ketma-ketlik geometrik

progressiya bo'lishini isbotlang.

Barcha n larda ekanligini ta'kidlab o'tamiz.  bo'linma barcha n lar uchun n ga bog'liq bo'lmagan ayni bir xil songa tengligini isbotlash talab qilinadi. Haqiqatan ham,

,

ya'ni  bo'linma n ga bog'liq emas.

Geometrik progressiya ta'rifiga ko'ra

,

Bundan

Agar progressiyaning barcha hadlari musbat bo'lsa, u holda bo'ladi, ya'ni geometrik progressiyaning ikkinchisidan boshlab har bir hadi unga qo'shni bo'lgan ikkita hadning o'rta geometrigiga teng. «Geometrik» progressiya degan nom shu bilan izohlanadi.

Agar b₁ va q berilgan bo'lsa, u holda geometrik progressiyaning qolgan hadlarini b_n+1 = b_nq rekurrent formula bo'yicha hisoblash mumkin-ligini ta'kidlaymiz. Biroq, n katta bo'lganda bu ko'p mehnat talab qiladi. Odatda n-hadning formulasidan foydalaniladi.

Geometrik progressiyaning ta'rifiga ko'ra

Umuman,

                                        (1)

 

chunki geometrik progressiyaning n – hadi uning birinchi hadini q songa (n – 1) marta ko'paytirish bilan hosil qilinadi.

(1) formula geometrik progressiya n-hadi formulasi deyiladi.

2- m a s a 1 a .  Agar b_l = 81 va q = bo'lsa, geometrik progressiyaning yettinchi hadini toping. (1) formulaga ko'ra:

.

3-masala. 486 soni 2, 6, 18, ... geometrik progressiyaning hadi. Shu hadning nomerini toping.

Aytaylik, n - izlangan nomer bo'lsin. b₁ = 2, q = 3 bo'lgani uchun  formulaga ko'ra:

,

bundan n – l = 5, n = 6.

4 - m a s a 1 a . Geometrik progressiyada b₆ = 96 va b₈ = 384. n – hadining formulasini toping.

 formulaga ko'ra: . va  ning berilgan qiymatlarini qo'yib, hosil qilamiz: . Bu tengliklardan ikkinchisini birinchisiga bo'lamiz:

bundan 4=q² yoki q²= 4. Oxirgi tenglikdan q = 2 yoki q = -2 ekanini topamiz.

Progressiyaning birinchi hadini topish uchun 96 = b₁q⁵  tenglikdan foydalanamiz:

1) q = 2 bo'lsin. U holda.

Demak, b₁ = 3 va q = 2 bo`lganda n – hadning formulasi bo`ladi.

2)   bo`lsin. U holda .

Demak,  va  bo`lganda, n – hadning formulasi

bo`ladi.

Javob:   yoki .▲

5- m a s a 1 a . Aylanaga kvadrat ichki chizilgan, unga esa ikkinchi aylana ichki chizilgan. Ikkinchi aylanaga ikkinchi kvadrat ichki chizilgan, unga esa uchinchi aylana ichki chizilgan va hokazo (77- rasm). Aylana-larning radiuslari geometrik progressiya tashkil qilishini isbotlang.

n – aylananing radiusi r_n bo'lsin. U holda Pifagor teoremasiga ko'ra bundan

,

Bundan

, ya’ni

Demak, aylanalar radiuslarining ketma-ketligi maxraji bo'lgan geometrik progressiya tashkil qiladi.

 

     TAYANCH   TUSHUNCHALAR:

                               

                        Geometrik progressiya, Geometrik progressiyaning maxraji.