78
– rasmda tasvirlangan kvadratlarni qaraymiz.
Birinchi
kvadratning tomoni 1
ga
teng, ikkinchisiniki 
ga,
uchinchisiniki esa
ga
teng va hokazo. Shunday qilib, kvadratning tomonlari maxraji
bo'lgan
quyidagi geometrik progressiyani tashkil qiladi:
(1)
Bu kvadratlarning yuzlari esa maxraji 7 bo'lgan ushbu geometrik progressiyani tashkil qiladi:
(2)
78- rasmdan ko'rinib turibdiki, kvadratlarning tomonlari va ularning yuzlari n nomerning ortishi bilan borgan sari kamayib, nolga yaqinlasha boradi. Shuning uchun (1) va (2) progressiyalar cheksiz kamayuvchi progressiyalar deyiladi. Bu progressiyalarning maxrajlari birdan kichik ekanligini ta'kidlab o'tamiz.
Endi quyidagi geometrik progressiyani qaraymiz:
(3)
Bu progressiyaning
maxraji 
hadlariesa
va
hokazo.
n
nomerning ortishi bilan bu progressiyaning hadlari nolga yaqinlashadi.
(3)
progressiya ham
cheksiz
kamayuvchi progressiya
deyiladi. Uning maxrajining moduli birdan kichik ekanligini ta'kidlab
o'tamiz: 
Maxrajining moduli birdan kichik bo'lgan geometrik progressiya cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya deyiladi.
l-masala.
n-
hadining 
formulasi
bilan berilgan geo-metrik progressiya cheksiz kamayuvchi bo'lishini
isbotlang.
Shartga ko'ra
,
bundan 
bo`lgani
uchun berilgan geometrik progressiya cheksiz kamayuvchi bo'ladi.
79- rasmda tomoni 1 bo'lgan kvadrat tasvirlangan. Uning yarmini shtrixlaymiz. So'ngra qolgan qismining yarmini shtrixlaymiz va hokazo. Shtrixlangan to'g'ri to'rtburchaklarning yuzlari quyidagi cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyani tashkil qiladi:
Agar shunday yo'l bilan hosil qilingan barcha to'g'ri to'rtburchaklarni shtrixlab chiqsak, u holda butun kvadrat shtrix bilan qoplanadi. Hamma shtrixlangan to'g'ri to'rtburchaklar yuzlarining yig'indisini 1 ga teng deb hisoblash tabiiydir, ya'ni:
Bu tenglikning chap qismida cheksiz sondagi qo'shiluvchilar yig'indisi turibdi. Dastlabki n ta qo'shiluvchining yig'indisini qaraymiz:
Geometrik progressiya dastlabki n ta hadi yig'indisi formulasiga ko'ra:
Agar
n
cheksiz о'sib
borsa, u holda 
nolga
istagancha yaqinlasha boradi (nolga intiladi). Bunday hol quyidagicha
yoziladi:
da
(o'qilishi:
n
cheksizlikka intilganda nolga
intiladi) yoki
(o'qilishi:
n
cheksizlikka intilganda ketma-ketlikning
limiti nolga teng).
Umuman, biror
an
ketma-ketlik uchun
da
bo'lsa,
u holda an
ketma-ketlik a songa intiladi (an
ketma-ketlikning
dagi
limiti a
ga teng) deyiladi va bu 
kabi
yoziladi.
da
bo'lgani
uchun
da
,
ya'ni
da
.
Shuning
uchun
cheksiz
yig'indi 1
ga teng
deb hisoblanadi.
Endi ixtiyoriy cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyani qaraymiz:
bunda
.
Cheksiz
kamayuvchi geometrik progressiyaning yig'indisi deb
da
uning
dastlabki
n
ta
hadi
yig'indisi
intiladigan
songa
aytiladi.
formuladan
foydalanamiz. Uni bunday yozamiz:
(4)
Agar
n
cheksiz o'ssa, bo'lgani
uchun 
.
Shuning
uchun
ham
da
nolga intiladi.
(4)
formulada birinchi
qo'shiluvchi n
ga bog'liq emas. Demak,
da
Sn
yig'indi
songa
intiladi.
Shunday qilib, cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning S yig'indisi quyidagiga teng:
Xususiy
holda,
bo'lganda,
ni
olamiz.
Bu
tenglik
odatda
ushbu
ko'rinishda
yoziladi:
Bu tenglik va (5) tenglik faqat |q| < 1 bo'lganda o'rinli bo'lishini ta'kidlab o'tamiz.
2-masala.
cheksiz
kamayuvchi geometrik progressiya yig'indisini toping.
bo'lgani
uchun 
formula
bo'yicha:
.
3
- m a s a
1
a.
Agar
bo'lsa,
cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya yig'indisini toping.
n
= 3
bo'lganda 
formulani
qo'llasak, 
,
hosil
bo'ladi, bundan
=
- 49.
(5) formula bo'yicha S yig'indini topamiz:
.
4-masala.
(5)
formuladan
foydalanib, a
=
0,(15) = 0,151515...
cheksiz o'nli davriy kasrni oddiy kasr shaklida yozing.
Berilgan cheksiz kasr taqribiy qiymatlarining quyidagi ketma-ketligini tuzamiz:
,
,
.
Taqribiy qiymatlarni bunday yozish berilgan davriy kasrni cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya yig'indisi shaklida tasvirlash mumkinligini ko'rsatadi:
(5) formulaga ko'ra:
.
TAYANCH TUSHUNCHALAR:
Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya,
Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning yig'indisi.
|
|