1-masala. y = x2­­ – 2x + 3 funksiyaning grafigini yasang va uni y = x2­­ funksiya grafigi bilan taqqoslang.

 y = x2­­ – 2x + 3 funksiyaning qiymatlar jadvalini tuzamiz:

 

 

x

–3

–2

–1

0

1

2

3

y=x2-2x+3

18

11

6

3

2

3

6

 

Topilgan nuqtalani yasaymiz va ular orqali silliq egri chiziq o`tkazamiz (9-rasm).

Grafiklarni taqqoslash uchun to`la klvadratni ajratish usulidan foydalanib  y = x2– 2x + 3 formulaning shaklini almashtiramiz:

y = x2– 2x + 1 + 2 = (x – 1)2 + 2.

 

 

Avval y = x2 va y = (x –  1)2 funksiyalarning ­­ grafiklarini taqqoslaymiz. Agar   (x1; y1) nuqta     y = x2­­ parabolaning nuqtasi, ya’ni y1 = x12­ bo`lsa,

u holda ­(x1 + 1; y1) nuqta y = (x –  1)2 funksiyaning grafigiga tegishli bo`ladi, chunki

((x1 + 1) – 1)2 =  = y1.

 

Demak, y = (x –  1)2 funksiyaning grafigi y = x2­­ paraboladan uni bir birlik o`ngga siljitish (parallel ko`chirish) bilan hosil qilingan parabola bo`ladi (10-rasm).

Endi. y = (x –  1)2 va y = (x –  1)2 + 2 funksiyalarning grafiklarini taqqoslaymiz. x ning har bir qiymatida y = (x –  1)2 + 2 funksiyaning qiymati y = (x –  1)2 funksiyaning qiymatidan 2 taga ortiq. Demak, y = (x –  1)2 + 2 funksiyaning grafigi y = (x –  1)2 parabolani ikki birlik yuqoriga siljitish bilan hosil qilingan parabola bo`ladi (11-rasm).

 

 Shunday qilib, y = x2­­ – 2x + 3 funksiyaning grafigi y = x2­­ parabolani bir birlim, o`ngga va ikki birlik yuqoriga siljitish natijasida hosil qilingan parabola bo`ladi (12-rasm). y = x2­­ – 2x + 3 parabolaning simmetriya o`qi ordinatalar o`qiga parallel va parabolaning uchi bo`lgan (1;2) nuqtadan o`tgan to`g`ri chiziq bo`ladi.

y = a(x – x0)2 + y0  funksiyaning grafigi  y = ax2 parabolani:

agar  x0 > 0 bo`lsa, abssissalar o`qi bo`yicha o`ngga x0 ga, agar x0 > 0  bo`lsa, chapga | x0| ga siljitish;

agar y0 > 0 bo`lsa, ordinatalar o`qi bo`ylab yuqoriga y0 ga, agar y0 < 0 bo`lsa, pastga | y0| ga siljitish yo`li bilan hosil qilinadigan parabola bo`lishi shunga o`xshash isbot qilinadi.

Istalgan  y = ax2 + bx + c kvadrat funksiyani undan to`la kvadratni ajratish yordamida

 

Ya’ni y = a(x – x0)2 + y0  kabi ko`rinishda yozish mumkin, bunda

 

 

Shunday qilib, y = ax2 + bx + c funksiyaning grafigi y = ax2 parabolani koordinatalar o`qlari bo`ylab siljitishlar natijasida hosil bo`ladigan parabola bo`ladi. y = ax2 + bx + c  tenglik parabolaning tenglamasi deyiladi. y = ax2 + bx + c parabola uchining (x0, y0) koordinatalarini quyidagi formula bo`yicha topish mumkin:

 

y = ax2 + bx + c parabolaning simmetiya o`qi ordinatalar o`qiga parallel va parabolaning uchidan o`tuvchi to`g`ri chiziq  bo`ladi.

y = ax2 + bx + c parabolaning tarmoqlari, agar a > 0 bo`lsa, yuqoriga yo`nalgan, agar a < 0 bo`lsa, pastga yo`nalgan bo`ladi.

 

  2-masala. y = 2x2­­ – x – 3 parabola uchining koordinatalarini toping.

 Parabola uchining abssissalari:

 

Parabola uchining ordinatasi:

 

Javob:

 

  3-masala. Agar parabolaning (–2; 5) nuqta orqali o`tishi va uning uchi (–1; 2) nuqtada bo`lishi ma’lum bo`lsa, parabolaning tenglamasini tuzing.

Parabolaning uchi (–1; 2) nuqta bo`lgani uchun parabolaning tenglamasini quyidagi ko`rinishda yozish mumkin:

y = a(x + 1)2 + 2.

Shartga ko`ra (–2; 5) nuqta parabolaga tegishli va demak,

5 = a(–2+1)2 + 2,

bundan  a = 3.

Shunday qilib, parabola

y = 3(x + 1)2 + 2 yoki y = 3x2 + 6x + 5

tenglama bilan beriladi.