1-masala. y = x2 – 4x + 3 funksiyaning grafigi yasang.

 1.  Parabola uchining koordinatalarini hisoblaymiz: 

(2; –1) nuqtani yasaymiz.

2. (2; –1) nuqta orqali ordinatalar o`qiga parallel to`g`ri chiziq, ya’ni parabolaning simmetriya o`qini o`tkazamiz (13-a rasm).

3. Ushbu

 x2 – 4x + 3 = 0

tenglamani yechib, funksiyaning nollarini toramiz: x1 = 1, x2 = 3. (1; 0) va (3; 0) nuqtalarni yasaymiz (13-b rasm).

4. Ox o`qida x = 2 nuqtaga nisbatan simmetrik bo`lgan ikkita nuqtani, masalan,  x = 0 va x = 4 nuqtalarni olamiz. Funksiyaning bu nuqtalardagi qiymatlarini hisoblaymiz: y(0) = y(4) = 3.

5. Yasalgan nuqtalar orqali parabolani o`tkazamiz (13-d rasm).  

 

Shu yo`sinda istalgan y = ax2 + bx + c kvadrat funksiyaning grafigini yasash mumkin:

 

 

1. x0 va  y0 larni  formulalardan foydalanib hisoblab, parabolaning (x0,  y0)  uchi yasaladi.

2. Parabolaning uchidan ordinatalar o`qiga parallel to`g`ri chiziq – parabolaning simmetriya o`qi o`tkaziladi.

3. Funksiyaning nollari (agar ular mavjud bo`lsa) topiladi va abssissalar o`qida parabolaning mos nuqtalari yasaladi.

4. Parabolaning uning o`qiga nisbatan simmetrik bo`lgan qandaydir ikkitanuqtasi yasaladi. Buning uchun Ox o`qida x0  nuqtaga nisbatan simmetrik bo`lgan ikkita nuqta olish va funksiyaning mos qiymatlarini (bu qiymatlar bir xil) hisoblash kerak. Masalan, parabolaning abssissalari x = 0 va x=2x0 bo`lgan nuqtalarni (bu nuqtalarning ordinatalari c ga teng) yasash mumkin.

5  Yasalgan nuqtalar orqali parabola o`tkaziladi. Grafikni yanada aniqroq yasash uchun parabolaning yana bir nechta nuqtasini topish foydali.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  2-masala. y = –2x2 + 12x – 19 funksiyaning grafigini yasang.

  1.  Parabola uchining koordinatalarini hisoblaymiz:

 

(3; –1) nuqtani – parabolaning uchini yasaymiz (14-rasm).

2.      (3; –1) nuqta oprqali parabolaning simmetriya o`qini o`tkazamiz (14-rasm).

3   –2x2 + 12x – 19 = 0 tenglamani yechib haqiqiy ildizlar yo`qligigava shuning uchun Ox o`qini kesmasligiga ishonch hosil qilamiz.

4. Ox o`qida x = 3 nuqtaga nisbatan simmetrik bo`lgan ikkita nuqtani, masalan x= 2 va x = 4 nuqtalarni olamiz. Funksiyaning bu nuqtalarning qiymatlarini hisoblaymiz:

y(2) = y(4) = 3.

(2; –3) va (4; –3) nuqtalarni yasaymiz (14-rasm.)

5. Yasalgan nuqtalar orqali parabola o`tkazamiz (15-rasm).

  3-masala. y =  –x2 + x + 6 funksiyaning grafigini yasang va shu funksiya qanday xossalarga ega ekanini aniqlang.

  Funksiyaning grafigini yasash uchun uning nollarini topamiz: –x2 + x + 6 = 0, bunda

x1 = –2, x2 = 3. Parabola uchining koordinatalarini bunday topish mumkin:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                                        

                                                                                                                                                       

        a = -a1 < 0 bo`lgani uchun parabolaning tarmoqlari pastga yo`nalgan.

Parabolaning yana bir nechta nuqtasini topamiz: y(–1) = 4,  y(0) = 6, y(1) = 6, y(2) = 4.

parabolani yasaymiz (16-rasm).

Grafik yordamida  y = –x2 + x + 6 funksiyaning quyidagi xossalarini hosil qilamiz:

1)  x ning istalgan qiymatlarida funksiyaning qiymatlari  ga teng yoki undan kichik;

2) –2 < x < 3 da funksiyaning qiymatlari musbat,        

x < –2 da va x > 3 da manfiy, x= –2 va  x = 3 da nolga teng;

3)  funksiya  oraliqda o`sadi,  da kamayadi;

4)   bo`lganda funksiya  ga teng bo`lgan eng katta qiymatini qabul qiladi;

 

5) funksiyaning grafigi  to`g`ri chiziqqa nisbatan simmetrik.  

 

 

y = ax2 + bx + c funksiya  nuqtada eng kichik yoki eng katta qiymatlarni qabul qiladi; bu x0 nuqta parabola uchining abssissasidir.

Funksiyaning x0 nuqtadagi qiymatini y0 = y(x0) formula bo`yicha topish mumkin. Agar a > 0 bo`lsa, u holda funksiya eng kichik qiymatga ega bo`ladi, agar a < 0 bo`lsa, u holda funksiya eng katta qiymatga ega bo`ladi.

 

Masalan, y = x2 – 4x + 3 funksiya x = 2 bo`lganda  –1 ga teng bo`lgan eng kichik qiymatini qabul qiladi (13-d rasm);  y = –2x2 + 12x – 19 funksiya x = 3 bo`lganda –1 ga teng eng katta qiymatini qabul qiladi (15-rasm).

  4-masala. Ikkita musbat sonning yig`indisi 6 ga teng. Agar ularning kvadratlari yig`indisi eng kichik bo`lsa, shu sonlarni toping. Shu sonlar kvadaratlari yig`indisining eng kichik qiymati qanday bo`ladi?

  Birinchi sonni x harf bilan belgilaymiz, bu holda ikkinchi son 6 – x, ular kvadratlari yig`indisi esa x2 + (6 – x)2 bo`ladi. Bu ifodaning shaklini almashtiramiz:

x2 + (6 – x)2 = x2 + 36 – 12 x + x2 =  2x2– 12 x+ 36.

  Masala  y=x2 –12x+36 funksiyaning eng kichik qiymatini topishga keltirildi. Shu parabola uchining koordinatalarini topamiz:

 

Demak, x = 3 bo`lganda funksiya 18 ga teng eng kichik qiymatni qabul qiladi.
        Shunday qilib, birinchi son 3 ga teng, ikkinchi son ham 6–3=3 ga teng. Bu sonlar kvadratlari yig`indisining qiymati 18 ga teng.

 

 

 

     TAYANCH   TUSHUNCHALAR:

y=ax2+bx+c funksiyaning eng kichik va eng katta qiymatlari .