1-masala. To`g`ri to`rtburchakning tomonlari 2 dm va 3 dm ga teng. Uning har bir tomoni bir xil sondagi detsimetrlarga shunday orttirildiki, natijada to`g`ri to`rtburchakning yuzi 12 dm² dan ortiq bo`ldi. Har bir tomon qanday o`zgargan?

  To`g`ri to`rtburchakning har bir tomoni x detsimetrga ottrilgan bo`lsin. U holda to`g`ri to`rtburchakning tomonlari (2+x) va (3+x) detsimetrga, uning yuzi esa (2+x)(3+x) kvadrat detsimetrga teng bo`ladi. Masala shartiga ko`ra (2+x)(3+x)>12, bundan x²+5x + 6 > 12  yoki  x² + 5x – 6 > 0.

Bu tengsizlikning chap qismini ko`paytuvchilarga ajratamiz:

 

(x + 6)( x – 1) > 0.

 

Masala shartiga ko`ra  x > 0 bo`lgani uchun x + 6 > 0.

Tengsizlikning ikkala qismini x + 6 songa bo`lib, x – 1 > 0, ya’ni x > 1 ni hosil qilamiz.

Javob:To`g`ri to`rtburchakning har bir tomoni 1dm dan ko`proqqa orttirilgan.

x² + 5x – 6 > 0 tengsizlikda x bilan no’malum son berilgan. Bu – kvadrat tengsizlikka misol.

 

Ta’rif. Agar tengsizlikning chap qismida kvadrat funksiya, on'g qismida esa nol tursa, bunday tengsizlik kvadrat tengsizlik deyiladi.

Masalan, 2x² + 3x – 1 ≥ 0,  –3x² + 4x + 5 < 0 tengsizliklar kvadrat tengsizliklardir.

Bir no’malumli tengsizlikning yechimi deb, no’malumning shu tengsizlikni tog`ri sonli tengsizlikka aylantiruvchi qiymatiga aytilishini eslatib o`tamiz.

Tengsizlikni yechish – uning barcha yechimlarini topish yoki ularning yo`qligini ko`rsatish demakdir.

  2-masala. Tengsizlikni yeching:

 

x² – 5x + 6 > 0

 

      x²– 5x + 6 = 0 kvadrat tenglama ikkita turli x₁ = 2, x₂ = 3 ildizga ega. Demak, x² + 5x – 6

kvadrat uchhadni ko`paytuvchilarga ajratish mumkin:

x² – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3).

Shuning uchun berilgan tengsizlikni bunday yozsa bo`ladi:

(x – 2)(x – 3) > 0

Agar ikkita ko`paytuvchi bir xil ishoraga ega bo`lsa, ularning ko`paytmasi musbat ekani ravshan.

1) Ikkila ko`paytuvchi musbat, ya’ni x – 2 > 0 va  x – 3 > 0 bo`lgan holni qaraymiz.

Bu ikki tengsizlikni quyidagi sistmani tashkil qiladi:

 

 

Sistemani yechib,  ni hosil qilamiz, bundan x > 3.

 

Demak, barcha x > 3 sonlar (x – 2)(x – 3) > 0 tengsizlikning yechimlari bo`ladi.

2 Endi ikkala ko`paytuvchi manfiy, ya’ni x – 2 < 0 va  x – 3 < 0 bo`lgan holni qaraymiz.

Bu ikki tengsizlikni quyidagi sistmani tashkil qiladi:

 

 

Sistemani yechib,  ni hosil qilamiz, bundan x < 2.

 

Demak, barcha x < 2 sonlar (x – 2)(x – 3) > 0 tengsizlikning yechimlari bo`ladi.

Shunday qilib, (x – 2)(x – 3) > 0 tengsizlikning  demak, berilgan x² + 5x – 6 > 0 tengsizlikning ham yechimlari x < 2, shuningdek, x>3 sonlar bo`ladi.

Javob: x < 2, x > 3.

 

Umuman, agar ax2 + bx + c = 0 kvadrat tenglama ikkita kturli yechimga ega bo`lsa, u holda ax2 + bx + c > 0 va ax2 + bx + c < 0 kvadrat tengsizliklarni yechishni, kvadrat tengsizlikning chap qismini ko`paytuvchilarga ajratib, birinchi darajali tengsizliklar sistemasini yechishga keltirish mumkin.

 

 

  3-masala. –3x² – 5x + 2 > 0 tengsizlikni yeching.

        Hisoblashlarni qulayroq olib borish uchun berilgan tengsizlikni birinchi koeffisiyentini musbat bo`lgan kvadrat tengsizliklar shaklida tasvirlaymiz. Buning uchun uning ikkala qismini –1 ga ko`paytiramiz:

3x² + 5x – 2 < 0.

 

3x² + 5x – 2 = 0 tenglamaning ildizlarini topamiz: 

 

 

 

Kvadrat uchhadni ko`paytuvchilarga ajratib, quyidagini hosil qilamiz:

 

Bundan ikkita sistemani olamiz:

               

 

Birinchi sistemani bunday yechish mumkin:

 

 

bu sistema yechimlarga ega emasligi ko`rinib turibdi.

Ikkinchi sistemani yechib quyidagilarni topamiz:

 

 

bundan

 

Demak,  tengsizlikning, ya’ni –3x²–5x+2>0 tengsizlikning yechimlari intervaldagi barcha sonlar bo`ladi.

 

Javob:   

     TAYANCH   TUSHUNCHALAR:

       Kvadrat tengsizlik, Tengsizlikning yechimi va tengsizlikni yechish.