Kvadrat funksiya y = ax2 + bx + c (bunda ) formula bilan berilishini eslatib o`tamiz. Shuning uchun kvadrat tengsizlikni yechish kvadrat funksiyaning nollarini va kvadrat funksiya musbat va manfiy qiymatlar qabul qiladigan oraliqlarni izlashga keltiriladi.

1-masala. Tengsizlikni grafik yordamida yeching:

 

2x2 – x – 1 ≤ 0.

 

y = 2x2 – x – 1 kvadrat funksiyaning grafigi – tarmoqlari yuqoriga yo`nalgan parabola.

Bu parabolaning Ox o`qi bilan kesishish nuqtalarini topamiz. Buning uchun 2x2 – x – 1 = 0 kvadrat tenglamani yechamiz. Bu tenglamaning ildizlari:

 

 

Demak. Parabola Ox o`qini va nuqtalarda kesadi (18-rasm).

2x2 – x – 1 ≤ 0 tengsizlikni x ning funksiya nolaga teng bo`lgan yoki funksiyaning qiymatlari manfiy bo`lgan qiymatlari qanoatlantiradi, ya’ni x ning shunday qiymatlariki, bu qiymatlarda parabolaning nuqtalari Ox o`qida yoki shu oq`dan pastda yotadi.

18-rasmdan ko`rinib turibdiki, bu qiymatlar  kesmadagi barcha sonlar bo`ladi.

Javob: .

 

Bu funksiyaning grafigidan berilgan tengsizlikdan faqat ishorasi bilan farq qiladigan boshqa tengsizliklarni yechishda ham foydalanish mumkin. 18- rasmdan ko`rinib turibdiki:

1) 2x2 – x – 1 < 0 tengsizlikning yechimlari  intervaldagi barcha sonlar;

2) 2x2 – x – 1 > 0 tengsizlikning yechimlari  va  oraliqdagi butun sonlar bo`ladi;

3) 2x2 – x – 1 ≥ 0 tengsizlikning yechimlari  va  oraliqlardagi barcha sonlar bo`ladi.

2-masala. Tengsizlikni yeching:

4x2 + 4x + 1 > 0

 

   y = 4x2 + 4x + 1  funksiya grafigining eskizini chizamiz. Bu parabolaning tarmoqlari

yuqoriga yo`nalgan. 4x2 + 4x + 1 = 0 tenglama bitta  ildizga ega, shuning uchun parabola Ox o`qiga  nuqtada urinadi. Bu funksiyaning grafigi 19-rasmda tasvirlangan. Berilgan tengsizlikni  yechish uchun x ning qanday qiymatlarda funksiyaning qiymatlari musbat bo`lishini aniqlash kerak. Shunday qilib, 4x2 + 4x + 1 > 0 tengsizlikni x ning parabolaning nuqtalari Ox o`qidan yuqorida yotuvchi qiymatlari qanoatlantiradi. 19-rasmdan ko`rinib turibdiki, bunday qiymatlar x= –0,5 dan boshqa barcha haqiqiy sonlar bo`ladi.

Javob: .

 

19-rasmdan ko`rinib turibdiki:

1)  4x2 + 4x + 1 ≥ 0 tengsizlikning yechimi barcha haqiqiy sonlar bo`ladi;

 

 

 

 

 

 

 

2)  4x2 + 4x + 1 ≤ 0 tengsizlik bitta  yechimga ega;

3)  4x2 + 4x + 1 < 0 tengsizlik yechimlarga ega emas.

Agar 4x2 + 4x + 1 = (2x + 1)2 ekani e’tiborga olinsa, bu tengsizliklarni og`zaki yechish mumkin.

 

3-masala.  –x2 + x – 1 < 0 tengsizlikni yeching.

  y = –x2 + x – 1 funksiya grafigining eskizini chizamiz. Bu parabolaning tarmoqlari pastga yo`nalgan. –x2 + x – 1 = 0 tenglamaning haqiqiy ildizlari yo`q, shuning uchun parabola Ox o`qini kesib o`tmaydi.

Demak, bu parabola Ox o`qidan pastda jorylashgan (20-rasm). Bu barcha x larda kvadrat funksiyaning qiymatlari manfiy, ya’ni –x2 + x – 1 < 0 tengsizlik x ning barcha haqiqiy bajarilishini anglatadi.

 

20-rasmdan yana –x2 + x – 1 ≤ 0 tengsizlikning yechimlari x ning barcha haqiqiy qiymatlari bo`lishi, –x2 + x – 1 > 0 va  –x2 + x – 1 ≥ 0 tengsizliklar esa yechimga ega emasligi jo`rinib turibdi.

 

 

 

Shunday qilib, kvadrat tengsizlikni grafik yordamida yechish uchun:

1) kvadrat funksiya birinchi koeffisiyentining ishorasi bo`yicha parabolatarmoqlarining yo`nalishini aniqlash;

2) tegishli kvadrat tenglamaning haqiqiy ildizlarini topish yoki ularning  yo`qligini aniqlash;

3) kvadrat funksiyaning Ox o`qi bilan kesishish nuqtalari yoki urinish nuqtasidan (agar ular bo`lsa) foydalanid, kvadrat funksiya grafigining eskizini chizish;

4)  grafik boqyicha funksiya kerakli qiymatlarni qabul qiladigan oraliqlarni aniqlash kerak.

 

     TAYANCH   TUSHUNCHALAR:

Kvadrat tengsizlikni grafik yordamida yechish .