10- §.  NATURAL  KO‘RSATKICHLI  DARAJANING  XOSSALARI

 

Darajaga ko‘tarish bir nechta muhim xossalarga ega.

 

                        1- xossa.

 

Bir xil asosli darajalarni ko‘paytirishda asos o‘zgarmasdan qoladi, daraja ko‘rsatkishlari esa qo‘shiladi.

Natural ko‘rsatkichli darajaning ta’rifiga ko‘ra

           

 

ko‘paytirishning guruhlash qonuniga ko‘ra

                                  

 

natural ko‘rsatkichli darajaning ta’rifiga ko‘ra

=2⁵                                          =a^m+n

Shunday qilib,

2² · 2³ = 2²⁺³                                      a^m · aⁿ = a^m+n

 

                        2- xossa.

 

Bir xil asosli darajalarni bo‘lishda asos o‘zgarmasdan qoladi,daraja ko‘rsatkichlari esa ayiriladi.

Shartga ko‘ra

5>3                                         m>n,  a≠0

Darajaning birinchi xossasiga ko‘ra

2^5–3 · 2³ = 2⁵                                      a^m–n · aⁿ = aⁿ

Shuning uchun

2^5–3 = 2⁵ : 2³                                      a^m–n = a^m : aⁿ

Shunday qilib,

2⁵ : 2³ = 2^5–3                             a^m : aⁿ = a^m–n,  m>n,  a≠0

 ekanligini ta’kidlaymiz.

 

    3- xossa.

(a^m ) ⁿ = a^mn

Darajani darajaga ko‘tarishda asos o‘zgarmasdan qoladi, daraja ko‘rsatkichlar esa o‘zaro ko‘paytiriladi.

Natural ko‘rsatkichli darajaning ta’rifiga ko‘ra

(2³)²=2³·2³=                  

darajaning birinchi xossasiga ko‘ra

=2³⁺³=                                    

ko‘paytirishning ta’rifiga ko‘ra

=2^3·2                              =a^mn

Shunday qilib,

(2³)² =2^3·2                       (a^m ) ⁿ = a^mn

    4- xossa.

(ab) ⁿ = aⁿ bⁿ

Ko‘paytmani darajaga ko‘tarishda har bir ko‘paytuvchini shu darajaga ko‘tariladi.

                         

 

ko‘paytirishning guruhlash va o‘rin almashtirish qonuniga ko‘ra

                           

 

natural ko‘rsatkichli darajaning ta’rifiga ko‘ra

=2³·3³                                     =aⁿ · bⁿ

Shunday qilib,

(2·3)³=2³·3³                                 (ab) ⁿ = aⁿ bⁿ

    5- xossa.

;  

 

Kasrni darajaga ko‘tarishda uning surat va maxraji xuddi shu darajaga ko‘tariladi.

Natural ko‘rsatkichli darajaning ta’rifiga ko‘ra

           

 

kasrlarni ko‘paytirishning qoidasiga ko‘ra

          

           

 

natural ko‘rsatkichli darajaning ta’rifiga ko‘ra

                             

Shunday qilib,

                        ,  

1- m a s a l a.      Hisoblang:    .

.

 

2- m a s a l a. Yorug‘likning tarqalish tezligi 3·10⁸ m/sek ga yaqin, Yerdan Quyoshgacha bo‘lgan o‘rtacha masofa 1,5·10¹¹ m. Yorug‘lik nuri Quyoshdan Yergacha bo‘lgan masofani qancha vaqtda bosib o‘tadi?

Tekis harakatda bosib o‘tilgan yo‘lning s=vt formulasiga asosan:

1,5·10¹¹=3·10⁸·t,

bu yerdan .

 

Javob. 500 sek = 8 min 20 sek.