19- §. UMUMIY KO‘PAYTUVCHINI QAVSDAN

TASHQARIGA CHIQARISH

1- m a s a l a. 1- bog‘ tomoni 427 m bo‘lgan kvadrat shaklida. Unga tutashgan 2- bog‘ to‘g‘ri to‘rtburchak shaklida bo‘lib, uning eni 427 m, bo‘yi esa 573 m. Bog‘larning maydoni birgalikda necha gektarni tashkil etadi (19- rasm)?

Agar a=427 m, b=573 m belgilash kiritsak, izlanayotgan maydon S=a²+ab (m²) bo‘ladi.

Bu ifodaga a va b ning qiymatlarini qo‘yib hisoblash vaqtni oladi. Ammo ikkala bog‘ning birgalikdagi maydoni S ni a·(a+b) ko‘paytma ham ifodalaydi, ya’ni a²+ab=a·(a+b) (rasmga qarang). a²+ab ifoda unga teng bo‘lgan a·(a+b) ifodaga almashtirilsa, hisoblash ishi ancha soddalashadi. Chindan ham, a²+ab = a·(a+b) = 427·(427+573) = 427 000 (m²) = 42,7 (ga).

Javob: 42,7 ga.

Hisoblashlarni soddalashtirish uchun a²+ab ko‘phad a·(a+b) ko‘paytma bilan almashtirildi.

Ko‘phadni ikkita yoki bir nechta ko‘phadlar ko‘paytmasi shaklida ifodalash ko‘paytuvchilarga ajratish (yoyish) deyiladi.

Ko‘phadni ko‘paytuvchilarga ajratish algebraik ifodalar ustida amallar bajarishda ham keng qo‘llaniladi.

2- m a s a l a. ab + ac – ad ifodaning a = 43, b = 26, c = 17, d = 23 bo‘lganda son qiymatini toping.

Hisoblashlarni quyidagicha olib boramiz:

43 · 26 + 43 · 17 – 43 · 23 = 43 · (26 + 17 – 23) = 43 · 20 = 860.

Bu yerda ko‘paytirishning taqsimot qonuni qo‘llanilgan:

ab + ac – ad = a·(b + c – d).

43 · 26 + 43 · 17 – 43 · 23 sonli ifodada umumiy ko‘paytuvchi 43 soni bo‘ladi: ab + ac – ad algebraik ifodada esa umumiy ko‘paytuvchi a bo‘ladi.

Agar ko‘phadning barcha (son yoki harfiy) hadlari umumiy ko‘paytuvchiga ega bo‘lsa, u holda shu ko‘paytuvchini qavsdan tashqariga chiqarish mumkin.

Qavs ichida berilgan ko‘phadni shu umumiy ko‘paytuvchiga bo‘lish natijasida hosil qilingan ko‘phad qoladi.

3- m a s a l a. Ushbu ko‘phadni ko‘paytuvchilarga ajrating:

6ab + 3b – 12bc.

Berilgan ko‘phadning barcha hadlari 3b umumiy ko‘paytuvchiga ega, chunki

6ab = 3b · 2a, 3b = 3b · 1, –12bc = 3b · (–4c).

Demak, 6ab + 3b – 12bc = 3b·(2a + 1 – 4c).

Ko‘phadning umumiy hadini tayin sharoitga qarab, qavsdan tashqariga “+” ishorasi bilan ham, “–” ishorasi bilan ham chiqarish mumkin. Misollar keltiramiz:

1) ab – b = b·(a – 1) = –b·(1 – a);

2) 4a²b³ – 6a³b² = 2a²b²·(2b – 3a) yoki

4a²b³ – 6a³b² = –2a²b²·(–2b + 3a) = –2a²b²·(3a – 2b).

Shunday qilib, ko‘phadni umumiy ko‘paytuvchini qavsdan tashqariga chiqarish yo‘li bilan ko‘paytuvchilarga ajratish uchun:

1) shu umumiy ko‘paytuvchini topish;

2) uni qavsdan tashqariga chiqarish kerak.

Agar ko‘phad hadlarining koeffitsiyentlari natural sonlar bo‘lsa, u holda umumiy ko‘paytuvchini topish uchun ko‘phad hadlari koeffitsiyentlarining eng katta umumiy bo‘luvchisini topish va bir xil asosli darajalar orasidan esa eng kichik ko‘rsatkichli darajani topish lozimligini ta’kidlab o‘tamiz.

Masalan, 28x²b³–21x³b² ko‘phadni ko‘paytuvchilarga ajratib quyidagini hosil qilamiz:

7x²b²·(4b – 3x).

Bu yerda 7 soni 28 va 21 sonlarning eng katta umumiy bo‘luvchisi, x² va b² esa x va b ning eng kichik ko‘rsatkichli darajalaridir.

Ko‘phadni ko‘paytuvchilarga ajralganligining to‘g‘riligini hosil bo‘lgan ko‘phadlarni ko‘paytirish yo‘li bilan tekshirish mumkin. Masalan, ko‘paytirishni bajarib, hosil qilamiz:

7x²b²(4b–3x)=28x²b³–21x³b³.

Umumiy ko‘paytuvchi ko‘phad bo‘lishi ham mumkin, masalan:

1) 5(a + b) + x(a + b) = (a + b)(5 + x);

2) 3x(a – 2b) + 5y(a – 2b) + 2(a – 2b) = (a –2b)·(3x + 5y + 2).

Ba’zan umumiy ko‘paytuvchini qavsdan tashqariga chiqarishdan oldin a – b = – (b – a) tenglikni qo‘llash foydali bo‘ladi,

masalan:

1) (a – 3)x – (3 – a)y = (a – 3)x + (a – 3)y = (a – 3)(x + y);

2) 15a²b·(x² – y) – 20ab²·(x² – y) + 25ab·(y – x²) = 15a²b· (x² – y) – 20ab²·(x² – y) – 25ab·(x² – y) = 5ab·(x² – y)(3a – 4b – 5).

     TAYANCH   TUSHUNCHALAR:

Ko‘paytuvchilarga ajratish, qavsdan tashqariga chiqarish, ko‘paytuvchilarga ajratish uchun ...