23- §. KO‘PHADNI KO‘PAYTUVCHILARGA AJRATISHNING

BIR NECHA USULLARINI QO‘LLASH

Ko‘phadni ko‘paytuvchilarga ajratishda ba’zan bir emas, balki bir necha usullar qo‘llaniladi.

Misollar keltiramiz:

1) a³–a ko‘phadni ko‘paytuvchilarga ajrating:

a³–a=a(a²–1)=a(a–1)(a+1).

Bu yerda ikkita usuldan foydalanilgan: umumiy ko‘paytuvchini qavsdan tashqariga chiqarish va kvadratlar ayirmasi formulasini qo‘llash.

2) (a²+1)²–4a² ko‘phadni ko‘paytuvchilarga ajrating:

(a²+1)²–4a²=((a²+1)–2a)((a²+1)+2a)=(a²+1–2a)(a²+1–2a)=

=(a²–2a+1)(a²+2a+1)=(a–1)²(a+1)².

Bu yerda qo‘shiluvchilar umumiy ko‘paytuvchiga ega emasligi sababli, avval kvadratlar ayirmasi formulasidan foydalanildi, so‘ngra yig‘indi va ayirma kvadratlarining formulalaridan foydalanildi. Yana bir misol yechib ko‘raylik:

3) 4x²–y²+4x+2y=(4x²–y²)+(4x+2y)=

=(2x–y)(2x+y)+2(2x+y)=(2x+y)(2x–y+2).

Birhadlar umumiy ko‘paytuvchiga ega bo‘lmagani va biror formulani qo‘llash mumkin bo‘lmagani uchun, avval guruhlash usulidan foydalanildi, so‘ngra esa kvadratlar ayirmasi formulasi qo‘llanildi.

Ko‘rib chiqilgan bu misollar ko‘phadni ko‘paytuvchilarga ajratishga doir topshiriqlarni bajarishda quyidagi tartibga rioya qilish foydali ekanligini ko‘rsatadi:

1) umumiy ko‘paytuvchini (agar u bor bo‘lsa) qavsdan tashqariga chiqarish;

2) ko‘phadni qisqa ko‘paytirish formulalari bo‘yicha ko‘paytuvchilarga ajratishga urinib ko‘rish;

3) guruhlash usulini, agar oldingi usullar maqsadga olib kelmasa, qo‘llashga harakat qilish.

M a s a l a . Tenglikni isbotlang:

(1)

Tenglikning o‘ng tomonidagi qavslarni ochamiz:

(a+b)(a²–ab+b²)=a³–a²b+ab²+a²b–ab²+b³=a³+b³.

Tenglikning o‘ng tomoni chap tomoniga tengligi kelib chiqdi, ya’ni (1) tenglik isbot qilindi.

Xuddi shu kabi

(2)

tenglikning to‘g‘riligi isbotlanadi.

(1) va (2) tengliklar mos ravishda kublar yig‘indisi va ayirmasi deb ataladi. Bu formulalar ham ko‘phadni ko‘paytuvchilarga ajratishda qo‘llaniladi.

Masalan:

1) 27+b³=(3+b)(9–3b+b²);

2) x⁴–8xy³=x(x³–8y³)=x(x–2y)(x²+2xy+4y²).

     TAYANCH   TUSHUNCHALAR:

Ko‘phadni ko‘paytuvchilarga ajratish, Kublar yig‘indisi formulasi, Kublar ayirmasi formulasi.