VI BOB. KOMBINATORIKA ELEMENTLARI

29- §. KOMBINATORIKANING ASOSIY QOIDASI

Aziz o‘quvchi! Siz 6- sinfda kombinatorikaning qo‘shish va ko‘paytirish qoidalariga oid dastlabki tushunchalar bilan tanishgansiz.

1- m a s a l a. Samarqanddan Toshkentga 4 xil yo‘l bilan kelish mumkin: samolyot, poyezd, avtobus va yengil mashina (taksi). Toshkentdan Xo‘jakentga 3 xil transport vositasi olib boradi: poyezd, avtobus, taksi. Samarqanddan Xo‘jakentga necha xil usulda kelish mumkin (22- rasm)?

22- rasm.

Samarqanddan Toshkentga kelishning jami 4 ta yo‘li bor. Mavjud 4 ta yo‘ldan bittasini tanlab, Toshkentga keldik, deylik. Endi Xo‘jakentga borishning 3 ta yo‘li — imkoniyati bor. Shunday qilib, Samarqanddan Toshkent orqali Xo‘jakentga borishning jami 4 • 3 = 12 xil usuli bor.

Javob: 12 xil.

Umuman, A shahardan В shaharga kelishning m ta, В dan C shaharga kelishning n ta yo‘li bo‘lsa, u holda A dan C ga kelishning jami m - n ta yo‘li bor, ya’ni A dan C ga m - n xil usuli bilan kelish mumkin.

Bu qoida ko‘paytirish qoidasidir va u kombinatorikaning asosiy qoidasi hisoblanadi.

2- m a s a l a. „Makro“ supermarketining „Hammasi uy uchun“ bo‘limida 5 xil piyola, 6 xil taqsimcha, 4 xil choy qoshiq bor. Nargiza xola turli nomdagi ikkita buyum sotib olmoqchi. U buni necha xil usulda amalga oshirishi mumkin?

1) Piyola va taqsimchani 5 • 6 = 30 usulda; 2) Piyola va qoshiqni 5-4 = 20 usulda; 3) taqsimcha va qoshiqni 6-4 = 24 xil usulda olish mumkin. Demak, turli nomdagi ikkita buyumni 30 + 20 +24 = 74 xil usulda tanlab olish mumkin ekan.

Javob: 74 xil usulda.

3- m a s a l a. Nechta uch xonali sonda faqatgina bitta 7 raqami bor?

7 raqami 1-, 2-, 3- o‘rinda (yuzlar, o‘nlar, birlar xonasida) bo‘lishi mumkin.

Agar 7 raqami 1- o‘rinda turgan bo‘lsa, 2- va 3- o‘rinlarni 9 • 9 = 81 usulda to‘ldirish mumkin.

Agar 7 raqami 2- o‘rinda bo‘lsa, u holda 1- o‘rinda 0 va 7 raqamlaridan boshqa ixtiyoriy raqam turishi mumkin. 1- o‘rinni egallashning 10 – 2 = 8 ta imkoniyati bor. Bu holda 3- o‘rinda 7 raqamidan boshqa ixtiyoriy raqam tura oladi; demak, imkoniyatlar soni 8-9 = 72 ta.

Agar 7 raqami 3- o‘rinda tursa, u holda 1- o‘rinni olish uchun 8 ta, 2- o‘rinni olish uchun esa 9 ta imkoniyat bor. Shunday qilib, o‘nli yozuvida faqatgina bitta 7 raqami bor uch xonali sonlar jami 81 + 72 + 72 = 225 ta ekan.

Javob: 225 ta.

4- m a s a l a. Aylanada olingan 5 ta nuqta A, B, C, D, E harflari bilan belgilangan. Har bir nuqta qolgan har bir nuqta bilan tutashtirilsa, nechta kesma hosil bo‘ladi (23- rasm)?

1-usul. Nuqtalar soni kam bo‘lgani uchun, masalaga mos shaklni chizib, kesmalar sonini bevosita sanab chiqish mumkin, ular – 10 ta. Ammo aylanada olingan nuqtalar soni ko‘p bo‘lsa (masalan, 100 ta, ...), mos shakl chizish va undagi kesmalarni bevosita sanash qiyinlashadi. Bu holda boshqa yo‘l tutish kerak.

2-usul. Aylanada olingan 5 ta nuqtaning har biridan 4 tadan kesma o‘tkaziladi. Bunday kesmalar soni 5 • 4 = 20 ta, ammo kesmalar sonini hisoblashda har bir kesma ikki marta sanalgan. Demak, biz 20 ni 2 ga bo‘lishimiz kerak: 20 : 2 = 10.

3-usul. A nuqtani qolgan 4 ta nuqta bilan tutashtirsak, 4 ta kesma hosil qilamiz: AB, AC, AD, AE. B nuqtadan ham 4 ta kesma o‘tkazish mumkin, ammo B dan o‘tkazilgan bitta kesma (BA = AB) ni biz sanadik. Demak, B nuqtadan 3 ta yangi (avval hisoblanmagan, sanalmagan) kesma o‘tkaziladi. Shunga o‘xshash, C dan 2 ta, D dan esa 1 ta yangi kesma o‘tkazish mumkin. E nuqtadan o‘tkaziladigan 4 ta kesmaning hammasi avval hisoblangan (EA = AE; EB = BE; EC = CE; ED = DE). Demak, aylanada belgilangan 5 ta nuqtani tutashtiruvchi jami kesmalar soni 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 10 ta.

5- m a s a l a. 3, 4, 5, 6, 8, 9 raqamlari yordamida hammasi bo‘lib: 1) raqamlar takrorlanmasa; 2) raqamlar tak- rorlanishi mumkin bo‘lsa, nechta uch xonali son tuzish mumkin?

1) Berilgan raqamlar 6 ta. Ularning xohlagan bittasi 3 xonali sonning birinchi raqami bo‘lishi mumkin. Demak, 3 xonali sonning birinchi raqamini tanlash imkoniyati 6 ta bo‘ladi. U holda 2- raqam qolgan 5 ta raqamning ixtiyoriy bittasi bo‘lishi mumkin, ya’ni 2- raqamni tanlash imkoni- yatlarimiz 5 ta. Shunga o‘xshash, 3- raqamni tanlash imkoniyatlarimiz 4 ta.

Demak, raqamlar takrorlanmasa, jami uch xonali sonlar soni 6 • 5 • 4 = 120 ta bo‘lar ekan.

Javob: 120 ta.

2) Raqamlar takrorlanadigan bo‘lsa, uch xonali sonning 1-, 2-, 3-xonalariga yoziladigan raqamni tanlash im- koniyatlari 6 tadan bo‘ladi, chunki berilgan raqamlar soni 6 ta. Bu holda jami 3 xonali sonlar soni 6 • 6 • 6 = 63 = 216 ta bo‘ladi.

Javob: 216 ta.