30- §. O'RIN ALMASHTIRISH. GURUHLASH

1- m a s a l a. 4, 7, 9 raqamlaridan ularni takrorlamasdan nechta 3 xonali son tuzish mumkin?

Bu kabi masalalarni 6- sinfda ishlagansiz.

1-o‘rinda berilgan 3 ta sondan ixtiyoriy bittasi turadi, ya’ni imkoniyatlar soni 3 ta. 2- o‘rinda qolgan 2 ta raqamdan ixtiyoriy bittasi bo‘ladi, ya’ni 2- o‘rinni egallash imkoniyati 2 ta. Nihoyat, 3- o‘rinda qolgan bitta raqam turadi. Demak, shu 3 ta raqamdan tuzilishi mumkin bo‘lgan 3 xonali sonlar soni 3 • 2 • 1 = 3! = 6 ta ekan. Shu 6 ta sonni yozaylik:

479, 497, 749, 794, 947, 974.

Hosil bo‘lgan 6 ta sonning tarkibi bir xil — ular berilgan 3 ta raqamdan tuzilgan, ammo ular bir-biridan raqamlarining tartibi bilan farqlanadi: 1, 2, 3 deb nomerlangan 3 ta o‘ringa 3 ta raqam turli tartibda joylashtirilgan. Bunday tartiblash (joylashtirish) o‘rin almashtirish deyiladi.

n ta: 1-, 2-, n- o‘ringa n ta a₁, a₂, ... , a_n elementlarni bir o‘ringa bittadan qilib joylashtirish a₁, a₂, ... , a_n elementlardan tuzilgan o‘rin almashtirish deyiladi.

n ta elementdan tuzilgan o‘rin almashtirishlar soni P_n bilan belgilanadi. Yuqoridagi misolda elementlar soni 3 ta edi, n = 3 va P3= 3 • 2 • 1 = 3! ekanini ko‘rdik. Umuman, P_n = n • (n-1) ... 2 • 1 = n!

2- m a s a l a. 4 ta a, b, c, d elementdan (predmetdan) 2 tadan olib tuzilgan har xil guruhlar soni nechta?

2 elementli guruhlarni tuzamiz:

{a, b}; {a, c}; {a, d}; {b, c}; {b, d}; {c, d}; — ularning soni 6 ta.

Javob: 6 ta.

Umuman, n ta elementdan k tadan olib tuzilgan barcha guruhlar soni deb belgilanadi va bu son ga teng: . son n ta elementdan k tadan olib tuzilgan guruhlar soni deb o‘qiladi. Bizning misolda n=4, k=2 edi. Demak,

ekanini ko‘rsatish oson. Haqiqatan ham,

.

Masalan, .

Shu bilan birga, .

belgining yuqori indeksidagi 2 soni kasrning suratida 2 ta ko‘paytuvchi bo‘lishini bildiradi. Bu ko‘paytuvchilar: belgining quyi indeksidagi 5 va undan bitta kam bo‘lgan son 4 dir. Kasrning maxrajida esa yuqori indeksidagi son 2 gacha bo‘lgan
natural sonlar ko‘paytmasi yoziladi: 2! = 1 • 2.

3- m a s a l a. Qavariq oltiburchakning diagonallari nechta nuqtada kesishadi? Hech qaysi uchta diagonal bitta nuqtada kesishmaydi, deb faraz qilinadi. Mos rasm chizing.

2 ta diagonalning har bir kesishish nuqtasi oltiburchakning 4 ta uchini aniqlaydi. Oltiburchakning har 4 uchiga diagonallarning bitta kesishish nuqtasi mos keladi. Demak, kesishish nuqtalari soni 6 ta uchdan 4 ta uchni tanlashlar soniga teng ekan. Buni chizgan rasmingizdan sanab bilishingiz ham mumkin.

Javob: .

4- m a s a l a. O‘lchamlari 7x4 bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchak 7 · 4 = 28 ta kvadratchalarga bo‘lingan. Kvadratchalarning tomonlari bo‘yicha yurganda A dan B ga olib boruvchi eng qisqa yo‘llar soni nechta (26- rasm)?

26-rasm.

Kvadratchaning tomoni uzunligi 1 „qadam“ deyilsa, A dan B ga eng qisqa yo‘l bilan borish uchun 11 „qadam“ qo‘yishingiz shart, buning 7 „qadam“i gorizontal, 4 „qadam“i esa vertikal yo‘l bo‘yichadir. Shunday qilib, A dan B ga olib boruvchi eng qisqa yo‘llar soni jami 11 ta „qadam“dan 7 ta go rizontal „qadam“ ni tanlashlar soni ga teng ekan. Ayni shu son 11 ta „qadam“ dan 4 ta vertikal „qadam“ni tanlashlar soniga ham tengdir, bundan ekani kelib chiqadi. Ammo

Javob: 330.

Agar to‘g‘ri to‘rtburchakning o‘lchamlari m x n bo‘lsa va u m · n ta kvadratchalarga ajratilgan bo‘lsa, u holda A dan B ga olib boruvchi eng qisqa yo‘llar soni bo‘ladi.

5- m a s a l a. 7 yigit va 4 qizdan iborat o‘quvchilar guruhidan oltita o‘quvchini shunday tanlab olish kerakki, ularning ichida qizlar soni ikkitadan kam bo‘lmasin. Buni necha xil usul bilan amalga oshirish mumkin?

Qizlarni guruhga 2, 3 va 4 ta tanlab olish mumkin. Ikkita qizni usul bilan, shundan so‘ng 4 ta yigitni usul bilan tanlab olamiz. Ko‘paytirish qoidasiga ko‘ra bunday usullar soni ta. Agar avval uchta qiz tanlab olingan bo‘lsa, u holda ta usul mavjud. Agar 4 ta qiz tanlab olingan bo‘lsa, ta usul mavjud. Jami ta usul bilan 6 kishidan iborat guruh tuzish mumkin.

6- m a s a l a. 1, 2, 3, ..., 9 raqamlaridan ularni takrorlamay tuzilgan 9 xonali sonlar ichida 2 va 5 raqamlari yonma-yon turadiganlari nechta?

Quyidagi hollar bo‘lishi mumkin: 2 birinchi o‘rinda, 5 ikkinchi o‘rinda, ..., 2 sakkizinchi o‘rinda, 5 to‘qqizinchi o‘rinda, bunday hollar soni 8 ta. Bundan tashqari, 2 va 5 lar- ning yuqoridagi 8 holda o‘rinlarini almashtirib, yana 8 ta (ular yonma-yon turadigan) holni topamiz. Demak, 2 va 5 ni yonma-yon qilib, 16 usul bilan qo‘yish mumkin. Bu usullarning har biriga boshqa qolgan raqamlarning 7! ta o‘rin almash- tirishlari mos keladi. Shunday qilib, 2 va 5 raqamlari yonma-yon turadigan o‘rin almashtirishlar soni 2 • 8 • 7! = 2 • 8! ga teng.