4- §. ARIFMETIK AMALLARNING XOSSALARI
Algebrani
puxta o‘rganish uchun arifmetik amallarning xossalarini yaxshi bilish lozim.
Eslatib o‘taylik, arifmetik amallar deb qo‘shish, ayirish, ko'paytirish va
bo'lish amallarini aytiladi. Sonlar ustida bu amallarning xossalarini qisqacha
formulalar ko‘rinishida yozamiz. Amallarning asosiy xossalari odatda qonunlar
deb ataladi. Qonunlardan foydalanib amallarning boshqa xossalarini ham asoslash
mumkin.
1. Q o‘ sh i sh v a k o‘ p a y t i r i sh.
Qo‘shish va ko‘paytirishning asosiy qonunlarini sanab o'tamiz.
1. O‘ r i n a
l m a sh t i r i sh qonuni:
a+b=b+a, ab=ba. |
(a+b)+c=a+(b+c),
(ab)c=a(bc). |
3. T a q s i m o t
qonuni:
a(b+c)=ab+ac. |
Bu
tengliklarda a, b, c
- ixtiyoriy sonlar.
Masalan,
1,2+3,5=3,5+1,2; ;
(–8)·(125+7)=
(–8)·125+(–8)·7.
Qo‘shish
va ko‘paytirish
qonunlari yordamida amallarning boshqa xossalarini ham hosil qilish mumkin.
Masalan:
a+b+c+d=a+(b+c+d), (abc)d=(ab)(cd),
|
1-Masala. Hisoblang: 75+37+25+13.
Hisoblashlarni ko‘rsatilgan tartibda olib borish mumkin: 75 ga 37 ni qo‘shib, natijaga 25 ni qo‘shish va oxirgi natijaga 13 ni qo‘shish. Lekin qo‘shishning xossalaridan foydalanib,
hisoblashlarni soddalashtirish mumkin:
75+37+25+13=(75+25)+(37+13)=100+50=150.
Bu misol shuni ko‘rsatadiki, amallarning xossalaridan foydalanib,
hisoblashlarni eng sodda(oqilona) usulda bajarish mumkin.
Amallarning xossalari algebraik ifodalarni soddalashtirish maqsadida
bajariladigan almashtirishlarda ham qo‘llaniladi.
2-Masala. Ifodani soddalashtiring:
3(2a+4b)+5(7a+b).
3(2a+4b)+5(7a+b)=3·2a+3·4b+5·7a+5·b=
=6a+12b+35a+5b=(6a+35a)+(12b+5b)=
=(6+35)a+(12+5)b=41a+17b.
Bu
masalani yechish jarayonida quyidagi ifoda hosil bo‘ldi:
6a+12b+35a+5b. |
Bu ifodada 6a va 35a qo'shiluvchilar o‘xshashdir,
chunki ular bir-biridan faqat koeffitsiyentlari bilangina farq qiladi. 12b va 5b qo‘shiluvchilar ham o‘xshash.
Shu sababli 6a+12b+35a+5b ifoda o‘rniga 41a+17b
ifodani yozish, ya’ni o‘xshash hadlarni ixchamlash mumkin bo‘ladi.
Oraliq hisoblashlarni og‘zaki bajarib, almashtirishlar yozuvini
qisqartirish mumkin. Masalan,
6(3x+4)+2(x+1)=18x+24+2x+2x+2=20x+26.
2. A y i r i sh
3-Masala. Toshkent va Samarqand shaharlari
orasida Jizzax shahri joylashgan. Toshkentdan Samarqandgacha bo‘lgan masofa 300 km, Toshkentdan
Jizzaxgacha bo‘lgan masofa esa 180 km. Jizzaxdan Samarqandgacha bo‘lgan
masofani toping.
Jizzaxdan Samarqandgacha bo‘lgan masofa x kilometr bo‘lsin. U holda
180 + x = 300, bu yerdan x = 300 – 180 = 200.
J a v o b. 120 km. 180 + x = 300 tenglikdan x qo‘shish ammaliga teskari deb aytiluvchi
ayirish amali yordamida topiladi. a sondan b sonni ayirish uchun a songa b songa qarama-qarshi bo‘lgan sonni qo‘shish kifoya: a – b = a + (–b). Shu sababli ayirish amalining xossalarini qo‘shish amalining xossalari
orqali asoslash mumkim. Masalan:
251+(49–13)=251+49–13=287, a+(b–c)=a+b–c,
123–(23+39)=123–23–39=61, a–(b+c)=a–b–c,
123–(83–77)=123–83+77=117, a–(b–c)=a–b+c. 4-Masala. Ifodalaning qiymatini hisoblang: 4(3x–5y)+6(x–y), bunda . Avval berilgan ifodani soddalashtiramiz: 4(3x – 5y) + 6(x – y) = 12x – 20y + 6x – 6y = 18x – 26y. Hosil bo‘lgan ifodaning dagi qiymatini
hisoblaymiz: . Ammallarninig
xossalaridan foydalanish algebrik ifodani avval soddalashtirib, so‘ngi uning qiymatni oson yo‘l bilan hisoblash
imkonini beradi. 3. B o‘ l i sh. 5-Masala. To‘g‘ri to‘rtburchakning yuzi 380 sm2, tomonlaridan biri 95 sm. To‘g‘ri to‘rtburchakninig ikkinchi tomoni uzunligini
toping. S = ab formuladan ni topamiz. S = 380, a = 95 bo‘lgani uchun
. J a v o b.
4 sm. ab = S tenglikdan
b ko‘paytirish amaliga teskari deb ataluvchi
bo‘lish amali yordamida topiladi. a sonni b song abo‘lish uchun a sonni b soniga teskari bo‘lgan songa ko‘paytirish kerak:
Shu
sababli bo‘lishning xossalarini
ko‘paytirishning xossalaridan keltirib chiqarish mumkin. 6-Masala. Tenglikni isbotlang:
bu yerda
. Bo‘ishni ko‘paytirish bilan almashtirib,
quyidagini hosil qilamiz: . Taqsimot
qonunini qo‘llab, ni topamiz.
Ko‘paytirishni bo‘lish bilan almashtirib, ni hosil
qilamiz.
TAYANCH TUSHUNCHALAR: O`rin almashtirih qonuni,
guruhlash qonuni, taqsimot
qonuni.