7- §. BIR NOMA’LUMLI
TENGLAMALARNI YECHISH
Al-Xorazmiyning
“Kitob al-muxtasar fi hisob al-jabr val-muqobala” asaridagi al-jabr musbat
hadlarni tiklash, yani manfiy hadlarni tenglamaning ikkinchi qismiga musbat
qilib o‘tkazishni, va muqobala esa tenglamaning ikkala qismidan teng hadlarni
tashlab yuborishni bildirgan.
Bir noma’lumli tenglamalarni yechish to‘g‘ri tengliklarning
sizlarga ma’lum xossalariga asoslangan ekanligini ko‘rsatadi.
Shu
xossalarni eslatib o‘tamiz:
Xossaning
so‘z bilan ifodalanishi |
Xossaning
umumiy ko‘rinishda yozilishi |
Misol |
1. Agar to‘g‘ri
tenglikning ikkala qismiga bir xil son qo‘shilsa yoki ikkala qismi-dan bir xil
son ayirilsa, u holda to‘g‘ri tenglik hosil bo‘ladi. 2. Agar to‘g‘ri
tenglikning ikkala qismini bir xil songa kopaytir’ilsa yoki ikkala qismini
nolga teng bo‘magan bir xil songa bo‘linsa, u holda to‘g‘ri tenglik hosil
bo‘ladi |
Agar a=b bo‘lib, l ixtiyoriy son bo‘lsa, u holda a+l=b+l, a–l=b–l
bo‘ladi. Agar a=b bo‘lib, m≠0
bo‘lsa, u holda a .m=b .m va a : m=b : m
bo‘ladi. |
7=7 7+2 =
7+2 7–2 =
7–2 27=27 27.3 = 27.3 27:3 =
27:3 |
Birinchi hossadan qo‘shiluvchilarni, ularning
isholarini qarama-qarshisiga, almashtirib, tenglikning bir qismidan ikkinchidan
ikkinchi qismiga olib o‘tish mumkinligi kelib chiqadi.
Aytaylik, a=b+m bo‘lsin. U holda
a+(–m)=b+m+(–m); a–m=b .
Tengliklarning bu xossalari tenglamalarni
yechishda qanday qo‘llanishini ko‘raylik.
1- masala. 9x–23 = 5x–11
tenglamani yeching.
x son berilgan tenglamaning ildizi, ya’ni x sonki, bunda tenglama to‘g‘ri tenglikka
aylanadi deb faraz qilamiz.
Noma’lum qatnashgan 5x hadni “–”
ishora bilan tenglikning chap qismiga, –23
hadni “+” ishora bilan o‘ng qismiga olib o‘tamiz. Natijada yana
to‘g‘ri tenglik hosil bo‘ladi:
9x–5x = 23–11.
Tenglamaning ikkala qismidagi o‘xshash hadlarni
ixchamlab,
4x = 12
tenglamani hosil qilamiz.
Bu tenglamaning ikkala qismnini 4 ga bo‘lib,
x = 3 ekanini topamiz.
Shunday qilib, tenglama ildizga ega, deb faraz
qilib, bu ildiz faqat 3 soniga teng bo‘lishi
mumkinligini ko‘rdik. x=3
haqiqatdan ham berilgan tenglamaning
ildizi bo‘lishini tekshiramiz: 9.3–23=5.3–11.
Bu to‘g‘ri tenglik, chunki uning chap va o‘ng qismlari birgina 4 soniga teng.
Demak, berilgan tenglama faqat bitta
ildizga ega: x = 3.
Tekshirishni bajarmaslik ham mumkinligini
ta’kidlaymiz, chunki tenglikning foydalanilgan xossalari bir to‘g‘ri tenglikni
ikkinchi to‘g‘ri tenglik bilan almashtirishga imkon beradi. Yechishning bu
usulida har doim to‘g‘ri natija hosil qilinadi (agar hisoblashlarda xatoga yo‘l
qo‘yilmasa, albatta).
Tenglama yechilishini yozishda 1- masalani
yechishdagidek batafsil yozma tushuntirishlarni bajarish shart emas.
Masalan, 5x+17=2x+5
tenglamaning yechilishini shunday yozish mumkin:
5x+17=2x+5, 3x=–12, x=–4.
Javob: x=–4.
2- masala. 2(x+3)–3(x+2)=5–4(x+1) tenglamani yeching.
Tenglamaning chap va o‘ng qismlarini
soddalashtiramiz: qavslarni ochamiz va o‘xshash hadlarni ixchamlaymiz. Natijada
2x+6–3x–6=5–4x–4, –x=–4x+1 tenglamani hosil qilamiz.
Demak, 3x=1, bundan .
3- masala. tenglamani yeching.
Tenglamaning ikkala qismini kasrlarning umumiy
maxrajiga, ya’ni 6 ga ko‘paytiramiz. U holda
, 15x–2(x–3)=6+(x–5).
Qavslarni ochamiz va o‘xshash hadlarni
ixchamlaymiz:
15x–2x+6=6+x–5, 13x+6=x+1,
bundan 12x=–5,
.
Shunday qilib, tenglamani yechishda tenglamaning
quyidagi asosiy xossalaridan foydalaniladi.
1-xossa. Tenglamaning
istagan hadi ishorasini qarama-qarshisiga o‘zgartirib, uning bir qismidan
ikkinchi qismiga o‘tkazish mumkin.
2-xossa. Tenglamaning ikkala
qismini nolga teng bo‘lmagan bir xil songa ko‘paytirish yoki bo‘lish mumkin.
Bu xossalar istagan bir noma’lumli tenglamani
yechish imkonini beradi.
Buning uchun:
1) noma’lum qatnashgan hadlarni
tenglikning chap qismiga, noma’lum qatnashmagan hadlarni esa o‘ng qismiga
o‘tkazish lozim (1-xossa);
2) o‘xshash hadlarni
ixchamlash kerak;
3) tenglamaning
ikkala qismini noma’lum oldida turgan koeffitsiyentga bo‘lish kerak (2-xossa).
Ko‘rib chiqilgan misollarda har bir tenglama
bitta ildizga ega bo‘ladi. Ammo ba’zi hollarda bir noma’lumli tenglama
ildizlarga ega bo‘lmasligi mumkin yoki cheksiz ko‘p ildizlarga ega bo‘lishi
mumkin. Shunday tenglamalarga misol keltiramiz.
4- masala. 2(x+1)–1=3–(1–2x)
tenglama ildizlarga ega emasligini ko‘rsating.
Tenglamaning ikkala qismini soddalashtiramiz:
2x+2–1=3–1+2x, 2x+1=2+2x,
bundan
2x–2x=2–1, 0 .
x=1.
Bu tenglama ildizlarga ega emas, chunki uning 0 . x dan iborat chap qismi nolga teng, o‘ng qismi esa 1 ga teng, ammo 0 ga teng emas.
Javob: tenglama yechimga ega emas.
5- masala. 3(1–x)+2=5–3x tenglama
cheksiz ko‘p yechimlarga ega ekanligini ko‘rsating.
Tenglamani
soddalashtiramiz: 3–3x+2=5–3x; 5–3x=5–3x. Oxirgi tenglik x ning istagan qiymatida to‘g‘ri bo‘ladi.
Demak, x ning istagan qiymati bu tenglamaning ildizi bo‘ladi.
Javob: tenglama cheksiz ko‘p yechimga ega.
TAYANCH TUSHUNCHALAR:
1-xossa, 2-xossa, bir
noma'lumli tenglamani yechish usuli.
|